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Über einige Formen und Formeln aus der 

 Theorie der Rosenhain'schen Funktionen. 



Von 



J. Thoinae. 



Betrachtet man die doppelt periodischen Funktionen, welche 

 in einem Periodenparallelogramm überall eindeutig sind, direkt 

 als Funktionen ihres Arguments, so läßt sich die Theorie dieser 

 Funktionen in einem hohen Grade von Vollständigkeit erledigen 

 mit Hilfe der bekannten Liouville'schen Sätze, die von Boechardt 

 in Crelle's Journal B. 88 veröffentlicht sind. Der Mangel analoger 

 Sätze für die vierfach periodischen eindeutigen Funktionen zweier 

 Veränderlichen bewirkt es , daß mau zu einem befriedigenden Ab- 

 schluß dieser Theorie auf dem von Herrn Rosenhain und analog 

 für drei Veränderliche von Herrn Webee betretenen Wege nicht 

 gelangt. Gleichwohl hat die Verfolgung dieses Weges ihren be- 

 sonderen Reiz, einmal, weil die Aussicht auf Wegräumung der 

 bisher unübersteiglichen Schranken nicht ganz abgeschnitten ist, 

 sodann aber auch , weil dieser Weg doch ganz sicher zu einer 

 Stelle führt, von der aus völlig klar übersehen wird, welche alge- 

 braischen Formen mit ihren Integralen den vierfach periodischen 

 Funktionen zugeordnet sind, so daß die andere bekannte, die 

 erste zu ergänzen bestimmte Methode, welche die Argumente als 

 Integrale algebraischer Funktionen von vornherein auffaßt, nun 

 von selbst gegeben wird. Es leidet aber der erste von Rosen- 

 hain eingeschlagene Weg noch an einem andern Übelstand, näm- 

 lich der Unübersichtlichkeit der überreichen Formen und Formeln, 

 welche zum Teil dadurch verursacht wird, dass Rosenhain die 

 algebraischen Moduln auf drei reduziert. In der Theorie der el- 

 liptischen Funktionen war es für Legendre eine wesentliche Auf- 



