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SO giebt es zehn wesentlich, d. h. nicht bloß durch das Vorzeichen 

 verschiedene Produkte von der Form 



in denen die Indices alle von einander verschieden sind. Die x', 

 r, /<' mögen , wenn sie mit -/., l, in zusammen die Zahlen 1 bis 6 

 ausmachen, den z, X, f.i komplementär heißen. Von den zwanzig 

 möglichen Kombinationen dreier Elemente aus sechs gegebenen 

 liefern nur zehn verschiedene Produkte, da diese außer den drei 

 Zahlen noch in gleicher Verbindung die drei komplementären 

 enthalten. Der Quotient irgend zweier solcher Produktausdrücke 

 ist das Produkt zweier Doppelverhältnisse aus je vier Zahlen, 

 und diese Doppelverhältnisse ändern sich bekanntlich nicht, wenn 

 man die Zahlenebene, in der die k^, Jc.^, . • kg Punkte bestimmen, 

 einer linearen Transformation unterwirft. Man kann daher, wenn 

 es sich nur um Werte solcher Quotienten handelt, drei der Zahlen 

 7c willkürlich wählen, sie z. B. gleich 0, 1, oo setzen, und es sind 

 diese Quotienten deshalb Funktionen von nur drei Variabein, sie 

 sind von dreifach unendlicher Mannigfaltigkeit. 

 In dem Ausdrucke 



JD , .B . y ,B B. . , 



X, A, ,U X , A , ,U V, 7t, p V , TC , p 



sollen die gestrichenen Indices den ungestrichenen komplementär 

 sein , und es soll [x + ^ + /< + »' + tt + ^] = [£ + C] sein. Die 

 Indices an einer Größe B sollen immer der Größe nach geordnet 

 sein. Da sie mit ihren komplementären vertauscht werden kön- 

 nen, so dürfen wir jedesmal annehmen, daß e sich unter den Zahlen 

 xA/<, und t unter den Zahlen vjtq vorfinde. Es sei fi = e, Q = ^^ 

 dann ist [k -\- X -^ v -[- n] ^ [0], und da /. von X , v von tt ver- 

 schieden sein muß, und da weder zwei noch vier verschiedene 

 ungerade Charakteristiken zusammen ^ [0] sein können, so muß 

 z = V, A = TT sein. Es muß ebenso t in /X'^i und e in v'tt'q 

 vorkommen, und die beiden andern Charakteristiken unter diesen 

 müssen wieder dieselben sein, Ist nun /it = «, Q = ^ gegeben, 

 so können die beiden Charakteristiken «/? auf |.4 . 3 = 6 Arten 

 aus den übrigen ausgewählt werden; da aber unsere Doppelpro- 

 dukte, wie wir sie, um einen Namen zu haben, heißen wollen, in 

 bezug auf drei Indices und die komplementären symmetrisch sind, 

 so giebt es nur drei verschiedene Doppelprodukte von der vor- 

 geschriebenen Art, welche zu e'C gehören. 



Die drei Doppelprodukte, welche zu et gehören, haben acht 



