üb. einige Formen u. Formeln a. d. Theorie d. Bosenhain'scheti Funkt. 585 



Elementarfaktoren gemein. Nämlich, wenn aßyö die übrigen 

 der Größe nach geordneten Indices sind, die Elementarfaktoreu 



£ a'e ß£ Y^ S 



^C~^a' ^\~~'^%' \~^Y' ^\~^^8' 



Sind et nicht größer 2\s aßyd^ so werden von diesen Fak- 

 toren einige negativ zu nehmen sein, allein sie sind auch mit dem 

 Vorzeichen in allen drei Doppelprodukten dieselben. Die nicht 

 gemeinsamen Faktoren sind für jedes Doppelprodukt Doppelfak- 

 toren. Bezeichnen wir das Produkt der gemeinsamen Faktoren 

 der Kürze halber mit JT, so ergiebt sich 



1/^ 



aße ySi^ «ßS ySs ß a 8 y »^ ' 



B D„^, B „ D,. = k —Je . Je. — Je. . V/I 



aye ßS? ay? ßSe y a 8 ß r ■** i 



B ^ B^ , B ^, B. =Ji^ — J^.Jo—Ji..yn^ 



a8£ ßyC «8? ßye 6 a Y ß V -*-* ' 



woraus die Gleichung fließt 



(7\) ^/B B.^, B ,B.. = 



^ ^ y ayz ß8C ay? ßSe 



'\/WT'WrW7rB7 + ^/WTl)77BT^B^ , 



K aße yS? aß? y8£ j/ a8e ßy? a8S ßye ' 



welche fünfzehn Formeln repräsentiert, weil e'C auf fünfzehn ver- 

 schiedene Arten bestimmt werden können. 



Da die Quadratwurzeln aus unsern Doppelprodukten denselben 

 dreigliedrigen Gleichungen genügen als die geraden Thetafunktionen 

 mit verschwindenden Argumenten, so kann man sie ihnen pro- 

 portional setzen. Sind die Moduln TiiTi2^22 reelle Größen, so 

 sind alle Thetaquadrate positiv reell, und wenn die /c^ /jg • . A^g 

 reell und der Größe nach geordnet sind, und die Quadratwurzeln 

 positiv genommen werden, so sind auch die algebraischen Größen 

 sämtlich positiv reell. Für andere Werte der x und Je muß das 

 Vorzeichen durch stetige Fortsetzung bestimmt werden. Es er- 

 giebt sich also die eine zehn repräsentierende Formel 



X, X, fx ' xXfji x'X'{jl' ' 



in welcher die Indices (wenigstens rechts) der Größe nach geordnet 

 sind und H ein Proportionalitätsfaktor ist. 



Es giebt noch viergliedrige Relationen zwischen den vierten Po- 

 tenzen gerader Thetafunktionen mit verschwindenden Argumenten. 

 Sie sind eine unmittelbare Folge der dreigliedrigen, und es genügen 

 daher auch ihnen selbstredend die algebraischen Ausdrücke, wie 

 wir an einem Beispiele zeigen. Der Ausdruck 



