586 J. Thomae, 



«Ye ß6? ayC ßSe «sC ßv^ Y^? «ßS 



der durch k — k^ teilbar ist, ist in Ic eine Funktion zweiten 



aß ' a 



Grades, die für Je = h , k . k^ und folglich identisch verschwin- 

 det. Dieser algebraischen Formel entspricht die Thetaformel 



«Ye «Y? «et Y^S 



Die D wechseln ihr Zeichen, wenn zwei Indices vertauscht 

 werden, während die vierten Thetapotenzen von der Indicesfolge 

 unabhängig sind, es muß deshalb das Vorzeichen besonders ge- 

 prüft werden. In den beiden Formeln 



(9.) ^' — ^\ = ^%+y , = ^* +^t, 



^ ^ «YS «yC ae? ' y^? ßs? 8^? 



sind alle derartigen Formeln enthalten, wenn man für Et die 

 drei Kombinationen 1,2; 3,4; 5,6 wählt und aß yd der Größe 

 nach ordnet. 



Die sogenannten Kosenhain'schen Formeln, welche die Funk- 

 tionaldeterminante ungerader Thetafunktionen mit verschwindenden 

 Argumenten durch gerade Thetafunktionen darstellen, habe ich in 

 Crelle's Journal Band 72 in der Form erwiesen, daß 



^ ^ dv, dv^ dv^ dv, «S P^^ -('^ ^'^ 



sei ; dabei blieb es spezieller Bestimmung vorbehalten, ob die rechte 

 Seite positiv oder negativ zu nehmen sei. Wird aber e <C C ange- 

 nommen und werden die Charakteristiken den Zahlen 1 bis 6 so 

 zugeordnet, wie es unter (5.) geschehen ist, und werden für [x + 

 X + f.i] die nur die Elemente und 1 für h und g enthaltenden 

 Charakteristiken gesetzt, wie sie unter (6.) stehen, so enthält (10.) 

 die Kosenhain'schen Formeln sämtlich und mit dem richtigen Vor- 

 zeichen. 



Zwischen je vier Quadraten ungerader Thetafunktionen finden 

 lineare homogene Relationen statt. Auch für diese lassen sich 

 algebraische außer den Größen k von zwei Variabein abhängende 

 Ausdrücke finden, welche dieselben Gleichungen befriedigen. 

 Nämlich 



(11.) i^liv) = F\x~ ^r {X - k^) (^ - y : Vi- iT w (y , 



wo F . (ic — ^) ein von ^ unabhängiger Proportionalitätsfaktor 

 ist, und 



w{po) = s* = a; — k^.x — k^ .x — k-^ .x — k^^.x — k^ .x — /cg , 

 und w die Ableitung dieser Funktion nach x ist. Für die Qua- 



