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Über Differentialgleichungen, 
deren Integrale feste Verzweigungspunkte besitzen. 
k Von L. Fucas. 
Ist eine Differentialgleichung gegeben, so kann man nach einem be- 
kannten Satze von Caucay ein und nur ein Integral finden von der 
Beschaffenheit, dass für einen willkürlich angenommenen Werth z, 
der unabhängigen Variabeln z das Integral y und seine n — ı ersten 
Ableitungen y' ,y” ,... y””" willkürlich vorgeschriebene Werthe 
Von 9 —m,..:y —=m-_, erhalten, wenn zugleich fest. 
gesetzt wird, welchen von den aus der Differentialgleichung sich er- 
gebenden diesen Werthen zugehörigen Werthen der rn“ Ableitung 
man gewählt hat. Wir wollen der Kürze halber diese Bestimmungs- 
stücke eines Integrals der Differentialgleichung nach der Analogie der 
in der Mechanik gebräuchlichen Bezeichnung die Anfangswerthe 
ten 
des Integrals nennen. Diejenigen Werthe von z, für welche sich das 
Integral y verzweigt, wollen wir als die Verzweigungspunkte des- 
selben bezeichnen. Es ergiebt sich nun, dass im Allgemeinen diese 
Punkte in zwei Kategorien zerfallen, nämlich in solche, welche von 
den Anfangswerthen abhängen und sich mit der stetigen Änderung 
der letzteren stetig verschieben, und in solche, welche feste Lagen 
in der z-Ebene haben. Man kann es als eines der wesentlichsten 
Merkmale einer linearen Differentialgleichung bezeichnen, dass die Ver- 
zweigungspunkte ihrer Integrale sämmtlich zur zweiten Kategorie ge- 
hören, und eben diese Eigenschaft ist es, welche den Verlauf der 
Integrale bei den linearen Differentialgleichungen übersichtlicher macht 
als bei den nicht linearen. Ich habe mir daher die Aufgabe gestellt, 
diejenigen Differentialgleichungen überhaupt zu charakterisiren, deren 
Integrale nur Verzweigungspunkte der zweiten Kategorie besitzen. Im 
Folgenden erlaube ich mir, die Resultate meiner Untersuchung zu- 
nächst für den Fall der Differentialgleichungen erster Ordnung zu ent- 
wickeln. Aber man wird aus der Darstellung erkennen, dass im 
Wesentlichen dieselbe Methode für die Differentialgleichungen höherer 
Ordnung ihre Gültigkeit behält. 
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