Fuchs: Über Differentialgleichungen. 701 
Es sei B ein Gebiet der «-Ebene, innerhalb dessen 4 und £ überall 
eindeutig und stetig verlaufen, und der Modul der Differenz zwischen 7 
und einer von n im Allgemeinen verschiedenen Wurzel der Gleichung (2) 
nirgends unterhalb- einer gewissen Grenze. herabsinkt, so ist für alle 
Werthe von x dieses Gebietes und für alle Werthe von x innerhalb 
eines hinlänglich kleinen in der «-Ebene um «= o beschriebenen 
Kreises X, die Diseriminante D, (x,u) von F, (x.uw,v) mit Ausnahme 
des Mittelpunktes dieses Kreises von Null verschieden; für « = o aber 
ist D,(x.u) Null für jedes x des Gebietes DB. Jede Wurzel » der 
Gleichung (5) lässt sich für alle Werthe x des Gebietes B und die 
Werthe « des Gebietes A in der Form 
a er er 
(6) v=gutgu tu’ +... 
darstellen, worin k eine positive oder negative ganze Zahl oder auch 
Null, & eine positive ganze Zahl bedeutet, und worin 9,99 »:-- 
innerhalb B stetige und eindeutige Funetionen von x sind, welche 
demnach innerhalb eines um einen Punkt a des Gebietes B beschriebenen 
ganz in dieses Gebiet fallenden Kreises nach positiven ganzen Potenzen 
von x — a entwickelt werden können, 
2. 
Wenn die Verzweigungspunkte der Integrale einer Differential- 
gleichung sich mit den Änderungen der Anfangswerthe stetig ver- 
schieben, so wird man im Allgemeinen die letzteren so variiren 
können, dass jeder Punkt eines gewissen Gebietes der unabhängigen 
Variabeln Verzweigungspunkt wird. 
Umgekehrt wenn die Verzweigungspunkte sich nicht mit den 
Änderungen der Anfangswerthe stetig verschieben sollen, so darf es 
nicht geschehen, dass man Integrale bestimmen könne, welche sich 
in einem beliebigen Punkte eines gewissen Gebietes der unabhängigen 
Variabeln verzweigen. Sind nämlich a,«d,a”,... einander hinlänglich 
nahe gelegene Punkte eines solchen Gebietes, J, J',J”,... Integrale, 
welche sich bezüglich in a,d’,a”,... derart verzweigen, dass für J® 
die in der Umgebung von a gelegenen Punkte nicht Verzweigungs- 
punkte sind, und setzt man jedes der Integrale J, J',J”,... bis zu 
ein und demselben Punkte P des Gebietes der unabhängigen Variabeln 
fort, wo die Integrale oder ihre Ableitungen nicht gleiche Werthe 
annehmen, — was immer möglich ist, da die Integrale nicht im 
ganzen Gebiete der unabhängigen Variabeln identisch sind — so sind 
