Fuchs: Über Differentialgleichungen. 703 
nach No. ı ein Gebiet B für z und ein Gebiet X für « abgrenzen 
der Art, dass innerhalb des Gebietes B n und £ eindeutig und stetig 
verlaufen und dass jede Wurzel vo der Gleichung (3) für diese Werthe 
von 2 und « in der Form 
k k+1 k+2 
(4) DI la OWEN E en 
dargestellt wird, wo k eine positive oder negative ganze Zahl oder 
Null, & eine positive ganze Zahl bedeutet, und 9, 9,, 9... . inner- 
halb eines um einen willkürlichen Punkt z = z, des Gebietes B be- 
schriebenen ganz in dieses Gebiet hineinfallenden Kreises 8 nach 
positiven ganzen Potenzen von 2 — z, entwickelbare Functionen 
von 2 sind. 
Setzen wir 
(5) u=f, 
so erhalten wir unter Berücksichtigung von (2) aus Gleichung (4) 
di d „ 
(6) ae tert +... 
In Folge der Voraussetzung, dass F irreduetibel sei, ist die Mög- 
lichkeit ausgeschlossen, dass F\ (z,u,v) für beliebige z und x durch 
eine Potenz von » theilbar ist, es können deshalb in (4) nicht alle 
Grössen g für jedes 2 verschwinden, und wenn, wie wir voraussetzen, 
I 
die A" Potenz von u“ die niedrigste ist, so ist 9, nicht identisch Null. 
Es sei demnach der willkürliche Punkt z, in B so gewählt, dass q, 
für z—= 2, von Null verschieden ist. 
Es sei nun 
Rank =,0, 
dz 
so folgt aus Gleichung (6), dass 1 darstellbar ist in der Form 
dz 
(7) 7; — ee SL ne a 
wo &,8&,&,... nach positiven ganzen Potenzen von 2— 2, fort- 
schreitende Reihen bedeuten, die innerhalb eines gewissen 2, um- 
gebenden Kreises convergiren, und wovon überdiess &, für 2—= z, nicht 
verschwindet. Da — 1 — k>o, so ergiebt sich hieraus auf bekannte 
Weise 
(8) re EN ee RR 
WO @3,C, 5... Constanten bedeuten. Da «— k>1ı, so ergiebt 
Gleichung (8) durch Umkehrung, dass i fölglich auch x und demnach 
das Integral y sich in 2 = z, verzweigt. 
