645 
Über den dritten Gauss’sschen Beweis des 
Reeiproeitätsgesetzes für die quadratischen Reste. 
Von L. KroneEckER. 
D:. Bemerkungen II, IV, V im art. 4 der Gauss’schen Abhandlung 
vom Jan. ı808! können mit Hülfe der Bezeichnungen, welche ieh in 
meinem neulich mitgetheilten Beweise des Reciproeitätsgesetzes” ange- 
wendet habe, durch die einfache Formel: 
(A) sen. R (a) = (— ı)el = (- 1) (n ungrade) 
dargestellt werden. Die Richtigkeit dieser Formel ergiebt sich — 
ebenso wie in der eitirten Gauss’schen Abhandlung — daraus, dass 
erstens die durch die Bedingung: 
24a — ı <[2a]<S 2a 
definirte ganze Zahl [2a] gleich 2[a] oder gleich 2[a] + ı wird, je 
nachdem der Rest R(a), welcher verbleibt, wenn von der reellen Grösse a 
die ihr nächste ganze Zahl subtrahirt wird, positiv oder negativ ist, 
und dass zweitens die Summe: 
[2«] + [r — 2a] 
gleich n — ı, also gleich einer graden Zahl wird, wenn n ungrade ist. 
It o<a,<- und = 2%, oder = ı — 2«,, je nachdem 2«, 
kleiner oder grösser als — ist, so ist auch o<a#<-, und es wird 
a 
vermöge der Gleichung (A): 
(A°) sgn. R(na,) = (— 1)". 
Diese Bestimmung des Vorzeichens von R(n«,) geht also unmittelbar 
aus den erwähnten vorbereitenden Bemerkungen im dritten Gauss’schen 
Beweise des Reciprocitätsgesetzes hervor; nun bedarf es aber nur noch 
der weiteren Bemerkung, dass offenbar; 
[ne] k N 
(— ı)Fl = sgn. I| — — a a 
2 k\n Re —(n— ı) 
! Theorematis arithmetici demonstratio nova. Gauss’ Werke, Bd. Il. S. 5. 
® Sitzungsberichte von 1884, XXIII, S. 519 und folgende. 
62* 
