Fecus: Über Differentialgleichungen. 705 
III. Wenn für die algebraische Function y’ von y, für will- 
kürliche 23,9=n,y’=£ eine @ — ıfache Verzweigungsstelle 
ist, so muss die Gleichung 
(E) 2 le) 
mit der Unbekannten y die Grösse „mindestensals < — ı fache 
Wurzel besitzen. 
Wenn die Gleichung (3) ausser vo—=o für v= o noch nicht ver- 
schwindende Wurzeln » besitzt, so ist für diese der Fall 
3. k=o zu betrachten. 
Da Gleichung (9) identisch erfüllt ist, so ergiebt sich aus (6) eine 
Gleichung, welche (7) analog ist, wenn in dieser k = o gesetzt wird, 
und es würde sich aus dieser ein in 2, sich verzweigendes Integral 
y ergeben, wenn > 2 wäre, d.h. 
IV Ist; —C reine von yı —£ verschiedene Wurzel der 
Gleichung. 
(12) Blze N.) — 0% 
so verzweigt sich die algebraische Function y’ von y nicht 
inyany=d 
4. 
Die Gleichung (A) sei nach Potenzen von y’ entwickelt, 
m m — I 
(1) Be, ysy)—ay Hayl =... ,=0 
Wo 4,,d,,..Qq, ganze rationale Functionen von y mit von 2 abhän- 
gigen Coeffieienten sind. Man kann voraussetzen, dass a,,a,,..qa, keinen 
gemeinschaftlichen Theiler haben. Es sei nunmehr 7 ein Werth von %, 
für welchen a, verschwindet, ohne dass zugleich Gleichung (C) durch 
—y befriedigt wird. Setzen wir 
(2) y-ıH+tu, 
so verwandelt sich (ı) in 
n ym n m—1ı De 
(3) aYy +a,Y Be. or ==10r, 
. ı y . . » 
worin @,,@,,..d, ganze rationale Functionen von vw mit von 2 ab- 
hängigen Coefficienten sind. Man kann alsdann ein Gebiet D für die 
Variable z derart abgrenzen, dass für alle Werthe 2 dieses Gebietes 
n eindeutig und stetig, und dass eine Wurzel y’ der Gleichung (3) 
für v — o unendlich wird und diese Wurzel derselben innerhalb eines 
gewissen u = o umgebenden Kreises in der Form 
Sitzungsberichte 1884. 69 
