Fuc#s: Über Differentialgleichungen. 709 
wo ® > ®, , $, ganze rationale Funetionen von ?Z vom Grade k<S- m, 
Y%,,%,,\, ganze rationale Functionen von ! vom Grade A<!m, 
derart, dass A+k=m—2, und R eine ganze rationale Function 
von Z vom 4“ Grade, in unserem Falle diese sämmtlichen Funetionen 
mit von z abhängigen Coeffieienten behaftet. 
Differenzirt man Gleichung (5) und vergleicht das Resultat mit (6). 
so erhält man für = eine Differentialgleichung (ce), welche die Eigen- 
schaft haben muss, dass die Verzweigungspunkte ihrer Integrale / 
sich nieht mit den Anfangswerthen verschieben, wenn Gleichung (F) 
diese Eigenschaft besitzt. Die Differentialgleichung (e) wird aber in 
d 
Bezug auf — vom 2" Grade. Nach Nr. 5 Bedingung 1. muss daher 
; dz 5 j 
a die Form haben 
dz 
dt R nn 
(7) Ah trAtr AP HAVRO, 
wo A,, A,, A,, A von 2 allein abhängen. Vergleicht man hiermit 
die Gleichung (ec), so erhält man 2 + 3 Bedingungsgleichungen 
zwischen den im Allgemeinen in der Zahl 37 + 4 vorhandenen 
Coeffieienten der d,. Pd: d:%, W,. %,, R und den ersten Ableitungen 
nach 2 derer von $,, W%, 91; U, R. 
Nach der Bedingung 2 in Nr. 5 muss ferner sein: 
oR OR ’ 
(8) 35 + ar (A, -H At m A,P) — (B, + bt) Rt) > 
wo B,. B,, von z allein abhängen. Hieraus folgen noch vier Glei- 
chungen zwischen den genannten Coefficienten und Ableitungen. Die 
Gesammtzahl der Bedingungen ist also im Allgemeinen 2m + 7. 
e 
Il. 
Ein Beispiel zu der in voriger Nummer bezeichneten speciellen 
Classe von Differentialgleichungen bietet der Fall, wo der Faetor der 
Diseriminante D(z, y) der Gleichung (F), welcher gleich Null gesetzt. 
die Verzweigungswerthe y = n von y liefert, von z unabhängig ist. 
Denn es sei 
» ’ 
(1) De, W=fW-D (ey), 
wo f(y) eine ganze rationale Function von y mit von z unabhängigen 
Coeffieienten bedeutet, und der Art, dass 
Sitzungsberichte 1884. 70 
