Kronecker: Die Periodensysteme von Functionen reeller Variabeln. 1077 
Fundamentalformen auf solche mit möglichst wenig Gliedern angewandt 
habe. Dieselbe Methode dient auch zur Reduction eines aus linearen 
homogenen Functionen beliebig vieler Variabeln gebildeten Divisoren- 
systems auf ein solches, welches die kleinste, d. h. eine mit der Stufen- 
zahl übereinstimmende Anzahl von Elementen enthält; ich will sie 
aber hier ohne alle Bezugnahme auf die erwähnten Theorieen darlegen. 
VII. Bezeichnet man die m+r Periodensysteme der Variabeln 
2%, mit: 
B (£ nn nbeickl ) 
hk mer 
und setzt man die Determinante der ersten m? Grössen c,; als von 
Null verschieden voraus, so lassen sich die Elemente des (m-+ı)ten 
Periodensystems als lineare homogene Functionen der Elemente der 
ersten m Periodensysteme mit m rationalen Coeffieienten darstellen. Re- 
dueirt man diese mn Coeffieienten sämmtlich, durch Weglassung der grössten 
Ganzen, auf echte Brüche, so kann man offenbar auch die so ent- 
stehenden linearen Functionen an Stelle der Elemente €, 415 C2,m&+1 > +++ Cmmtı 
des (m+-ı)ten Periodensystems nehmen und aber dieses Periodensystem 
weglassen, wenn bei der angegebenen Reduction die sämmtliehen 2 Coeffi- 
cienten der linearen Function gleich Null werden. Wenn dieses Ver- 
fahren auf alle r letzten Periodensysteme angewendet ist, muss wenig- 
stens eine der Determinanten ter Ordnung, welche sich aus den neuen 
m + r Periodensystemen bilden lassen,” kleiner als die Determinante der 
ersten m’ Grössen c,; sein, und da schon diese als die kleinste von 
allen des ursprünglichen Systems vorausgesetzt werden konnte, und 
aber die Determinanten, weil sie rationale Zahlen mit bestimmten 
Nennern sind, nicht beliebig verkleinert werden können, so muss man 
bei jenem Verfahren einmal zu m Periodensystemen gelangen, durch 
welche sich alle folgenden und demnach auch die m+r ursprüng- 
liehen Periodensysteme c,,; als lineare Functionen mit ganzzahligen 
Coeffieienten ausdrücken lassen. Ein solches System von m Perioden- 
systemen kann noch durch lineare Transformation der Variabeln = mit 
rationalen Coeffieienten in das »Einheitsystem« d,, umgewandelt werden, 
und es ergiebt sich daher, dass die Function @ des Art. I sich durch 
lineare Transformation der Variabeln y,,.%Y,....y,. mit ratio- 
nalen Coeffiecienten in eine solche umwandeln lässt, welche von 
! Ich habe die erwähnte Methode bereits im Wintersemester 1865/66 und seit- 
dem fast regelmässig in meinen Universitäts- Vorlesungen auseinandergesetzt. 
® Ist z.B. in einer der linearen Functionen der Coefficient von e,, von Null 
verschieden und also ein echter Bruch, so wird die Determinante der ersten m Perioden- 
systeme verkleinert, wenn man das erste Periodensystem «durch das System jener 
linearen Functionen ersetzt. 
