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Kronecker: Die Periodensysteme von Functionen reeller Variabeln. 1079 
d. h. also die grösste Zahl von der Beschaffenheit, dass nicht sämmt- 
liche aus dem System zu bildenden Determinanten nter Ordnung ver- 
schwinden. Die Stufenzahl bleibt offenbar ungeändert, wenn man 
dem System beliebig viele Zeilen oder Colonnen von linearen Functionen 
der früheren Zeilen oder Colonnen hinzufügt, und es kann daher auch 
ein System von unendlich vielen Zeilen oder Colonnen, wie z. B. das 
aus allen Perioden einer Function bestehende System, einen bestimmten 
endlichen Rang haben. 
Das System a,. wird so beschaffen vorausgesetzt, dass jeder Zeile, 
in welcher nicht alle Elemente reell sind, eine andere mit den con- 
Jugirten Elementen entspricht. 
Ist nun wie in Art. I die Determinante der ersten n” Elemente a, 
von Null verschieden, so ist gemäss der Definition der Stufenzahl n 
die Form: 
> Al (Kg): 
für unbestimmte «, auch wenn i>n ist, eine lineare Function der- 
jenigen n Formen, bei denen i=ı,2,...n ist. Das System der 
p Gleichungen: 
Seil = © —=1,2,...p 
k KT 
lässt sich daher in ein System von folgender Gestalt: 
W. + b,W, = 0 (k=1,2,...n) 
bringen und also nach Art. IV entweder absolut oder mit beliebig 
grosser Annäherung in ganzen Zahlen w lösen." Im ersteren Falle 
! Dass jedes System linearer homogener Gleichungen sich in ganzen Zahlen 
mit beliebiger Annäherung lösen lässt, wenn die Anzahl der zu bestimmenden ganzen 
Zahlen grösser als die Stufenzahl des Coeffieienten- Systems ist, kann auch direet, d. h. 
ohne das System umzuformen, bewiesen werden. Ich habe dies in meinen beiden, in 
den Comptes rendus der Pariser Akademie veröffentlichten Aufsätzen vom Januar 1883 
und November 1884 gezeigt und darin überhaupt die näherungsweise Auflösung linearer 
Gleichungen eingehend behandelt. Aber der Nachweis der Möglichkeit einer solchen 
Auflösung ist schon von Hrn. Herruıre im 40. Bande, so wie implieite von Rırmann 
im 71. Bande des Journals für Mathematik und von Hrn. Weıersrrass im Monats- 
bericht der Akademie vom November 1876, bei Behandlung der Frage der Anzahl 
der Periodensysteme, geführt worden. Diese Frage selbst wird in dem eitirten 
Weıersrrass’schen Aufsatze für analytische Functionen in der Weise erledigt, dass 
eine Grenze für die Anzahl der zur Bildung aller Periodensysteme ausreichenden 
bestimmt wird, und zwar eben diejenige, welche sich oben als der Rang des gesammten 
Periodensystems erwiesen hat. In der Rırmann’schen Entwickelung aber ist nur die 
Anzalıl der Variabeln als Grenze für die Zahl der Periodensysteme nachgewiesen, und 
zwar eben nur in dem Falle, wo die Anzahl der Variabeln gleich dem Range des 
Periodensystems wird. Die anderen Fälle sind als »Ausnahmen« bei. Seite gelassen, 
und am Schlusse des vierten Absatzes seines an Hrn. WEIERSTRAss gerichteten Schreibens 
hat sich Rıemann mit der blossen Angabe »dass es folglich eine Function von weniger 
als » linearen Ausdrücken der Grössen & ist« begnügt, ohne die nähere Begründung 
der Conelusion hinzuzufügen. 
