Kronecker: Ganzzahlige Auflösung linearer Gleichungen. 1183 
Beast nunrenstens abe au abi aub== ab" ia bo 
oder also a:a’:a”=b:b’:b”, so findet die Aequivalenz: 
(1,00, OR DO ba:br,.b. 
/ „ a) a) 
0.) (@ OrROFFO on (0,0) 
statt, und das System der beiden Gleichungen (®) ist für beliebige 
Werthe von £ und x nicht lösbar. Der »Rang« des Coefficientensystems' 
ist in diesem Falle kleiner als Zwei. 
I. Wenn aber zweitens der Rang des Coefficientensystems der 
Gleichungen (®) nicht kleiner als Zwei ist, so wähle ich zuvörderst 
fo) ’ 
drei ganze Zahlen m, m’, m”, für welche die absoluten Werthe der 
beiden Ausdrücke: 
am + a'm’-+ a”m” , bm + b’m’+ b"m” 
kleiner als r werden. Dies ist stets möglich. Denn wenn man jedes 
der beiden Intervalle: 
(lal+ [a + ja") e, (lol +19 + oe. 
welches die je (”+ 1)’ Werthe von 
aw + a’w’ + a”w” und bw + b’w’ + b"w” (w,w,w”= 0,1,2,...#) 
umfasst, in # gleiche Theile theilt, so giebt es mindestens zwei Systeme 
von Zahlen: 
’ „ / „N 
(ee) ee) 
für welche aw, + a’w! + a”w/ und aw, + a'w) + a”w,) in einem und 
demselben der £ Theilintervalle der Grössen aw + a’w’ + a’w” und 
ebenso bw, + b’w/ + b’w, und bw, + b’w, + b’w) in einem und dem- 
selben der 3 Theilintervalle der Grössen bw + b’w’ + b’w” liegen. 
Setzt man nun: 
vw —-uw,=m,w-wm=m,w -w m”, 
so ist: 
1|+]0|+ 
ee mi 
MESLZENTZ ", 
| 
jem+ am’ +a' m’ |< , |öm + 6m’ +b" m’ |< 
und man kann also in der That durch angemessene Wahl der Zahl { 
bewirken, dass die beiden absoluten Werthe: 
|am + a'm’ + a” m”|, |bm + b’m’ + 6" m” | 
kleiner als die gegebene Grösse r werden, dass also, wenn man: 
am + am’ -£ a”m” = «a, bm + b’m’ + b"m” = b" 
setzt, 
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! Vergl. die Definition in 8. 5. 
