KRronecker: Ganzzahlige Auflösung linearer Gleichungen. 1189 
abi, 2a bh re — 6" ey Ar 
und 
F(z,y, + a) = F,(z,y,) 
gesetzt, so geht die Gleichung (€) in folgende über: 
F(e,y)=F(@e+aw+ aw' +a’w”,y,); 
welche zeigt, dass die Function F, nur in Beziehung auf die Variable x 
periodisch ist. Gemäss $. ı ist aber dann F,(w, y,), als Funetion von « 
allein betrachtet, einfach periodisch oder von x unabhängig, je nachdem 
das Verhältniss @: a’: a” rational ist oder nicht, d. h. also je nachdem 
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Eins ist. Es ergiebt sich daher folgendes Resultat: 
der » Rationalitäts- Rangs des Systems gleich Null oder gleich 
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so lässt sich die Function F(x,y) durch lineare Transformation 
der Variabeln in eine Function einer Variabeln verwandeln, 
Ist der (absolute) Rang des Systems ( gleich Eins, 
für welche aus der Gleichung (6) keine Periodieität folgt, 
wenn der Rationalitäts-Rang des Systems ebenfalls gleich 
Eins ist. Wenn aber dieser Rationalitäts-Rang gleich Null ist, 
so kann F(x,y) durch lineare Transformation der Variabeln in 
eine Function von zwei Variabeln verwandelt werden, welcher 
auf Grund der Gleichung (&) nur in Beziehung auf eine der 
beiden Variabeln eine Periode zukommt. 
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und der Rationalitäts-Rang gleich Null ist, so folgt aus den Ent- 
II. Wenn der (absolute) Rang des Systems gleich Zwei 
wickelungen im $. 2, II, dass die Gleichung (&) nichts anderes aus- 
drückt, als die Gleichung: 
Feae,)=Fla+aw+ aw,, y+ bw, + biw,), 
welche zeigt, dass der Function F(&,y) die beiden Periodensysteme 
(a, , b,) , (a), b/) zukommen. 
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und der Rationalitäts-Rang gleich Eins ist, so ist dieses System gemäss 
III. Wenn der (absolute) Rang des Systems gleich Zwei 
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den Entwickelungen im $. 2, III dem Systeme: 
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aequivalent; die Funetion F(x,y) geht also durch lineare Transfor- 
