Kronecrer: Ganzzahlige Auflösung linearer Gleichungen. 1191 
8. 4. 
Ist F(x + yi) ‘eine eindeutige stetige Function der complexen Va- 
riabeln @ + yi, und werden für dieselbe Periodieitäts-Gleichungen: 
F(ia+yi)=Flae+yi+a+b)—= Fa + yi+a’+ bi) = F(a+ yi+ a’ + Pi) 
vorausgesetzt, so ist in den oben ($. 3, I) behandelten Fällen: 
F(x + yi) = F(x + yi+ (aw+ a'w’ + a’ w”) (1 + Xi) 
für beliebige ganze Zahlen ıw, w’, ww”. Ist der Rationalitäts-Rang gleich 
Null und also das Verhältniss a:a’:a” rational, so ergiebt sich aus 
den vorausgesetzten Gleichungen nur eine einfache Periodieität der 
Function F(x + yi). Ist aber der Rationalitäts-Rang gleich Eins, so 
lassen sich ganze Zahlen wo, 0’, w” bestimmen, für welche ao + «dw + a” w” 
einer gegebenen reellen Grösse £ beliebig nahe kommt. Es ist daher, 
in Folge der Voraussetzung der Stetigkeit von F, für jede reelle Grösse £: 
Fia+y)= F(x + yi+&(i+ 2%), 
und also, wenn diese Gleichung nach & differentiirt und dann Z=o 
gesetzt wird: 
F(&e+yi)= o. 
Die Function F(x + yi) muss sich daher auf eine Uonstante redueiren. 
Für den im $. 3, II behandelten Fall lassen sich die drei Perioden 
a+ bi,a’ + b’i,a” + bi auf zwei reduciren. 
Für den im $. 3, III behandelten Fall giebt es reelle Grössen &, ®, 
so dass: 
aß-+ ba = mn” -- mn , dß+ba=m”’n— mn’ , dß+b’a=mn — mn, 
und also: 
(a+ bi)ka + MH) =y+ ci,(d + bi) + Bi)=y+ ci, (ad + ba +) =y+ ci 
wird, wenn man der Kürze halber Jie drei Determinanten: 
ET , „ „ ‚ 7 
m'n” — m” n’ , m” n — mn” , mn’ — m’n 
mit ce, c’,c” bezeichnet. Setzt man nun @, + y,i = (& + Bi) (v + yi) und: 
so ist: 
Fa +y)=F (a +yi+Y+e)w+(ly + ci) w +” + )w”), 
und wenn man hierin: 
w= Am, w =ıAm’', w" = Am” 
nimmt, wo m, m’, m” die im $. 2, III definirten Zahlen bedeuten, so 
verschwindet der imaginäre Theil: cw + c’'w + c”w”, während 
