Kronecker: Ganzzahlige Auflösung linearer Gleichungen. 1193 
Wenn zwei Systeme einander gegenseitig enthalten, so sind sie 
als »aequivalent« zu bezeichnen. 
Die hier aufgestellten Begriffe haben für das Problem der nähe- 
rungsweisen ganzzahligen Auflösung linearer Gleichungen eine unmittel- 
bare Bedeutung. Denn erstens 
ist überhaupt ein System linearer, nicht homogener Gleichungen 
dann und nur dann, wenn der Rang des Coefficientensystems 
mit der Anzahl der Gleichungen genau übereinstimmt, in dem 
allgemeinen Sinne lösbar, dass die gegebenen linearen homo- 
genen Functionen der zu bestimmenden Grössen beliebig 
gegebenen Grössen gleich werden sollen; 
es können also nur die Werthe von r linear unabhängigen Functionen: 
(3) Zar Wr, IQ; 4%, Were ee (kn 229:0) 
durch passende Bestimmung von %,,%,,..., gegebenen Variaheln 
&>&>... gleich gemacht werden. Es können daher auch nicht 
melr als » Gleichungen: 
(6) 3 a0, = 9» > 4,0; — a ll N) 
für beliebig gegebene Grössen &,&,... mit den Ungleichheits- 
bedingungen: 
Kae 
in ganzen Zahlen w,,w,,...w, gelöst werden. 
An Stelle des Gleichungssystems (6) kann auch das Gleichungs- 
system: 
(6°) 3 Ar Wk — z er 3 A Wr == = — Day... K=1,2,...g') 
gesetzt werden, falls die Systeme (a,) und (a},.) in dem angegebenen 
Sinne einander aequivalent sind; denn wenn: 
it 1,2, pP 
an — 59 „® u — q 
U T 0 Tee 7 Gr Z Br Ir ( — @heset/ 
ist, so werden durcli die linearen ganzzahligen Transformationen der 
zu bestimmenden Grössen 10, , 10%.: 
10, — Dir No > (0, Wr - 
Eger 0: gr 10; R=1,2,...g' 
die beiden Gleichungssysteme (6), (&°) in einander transformirt. 
(Fortsetzung folgt.) 
Ausgegeben am 18. December. 
4 
Berlin, gedruckt in der Reichsdruckerei. 
Sitzungsberichte 1884. 115 
