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Kronecker: Ganzzahlige Auflösung linearer Gleichungen. 1275 
Ein solches dem Systeme (a,) aequivalentes System ist das obige 
System: 
(Dr: s Dir Ste Dr , Den n Dr Ds ee b,. (k— 2 g)) 
. 
dessen Elemente gemäss den Gleichungen (9) und (%) nur Determi- 
nanten-Quotienten: 
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und lineare ganzzahlige Funetionen derselben sind. Die charakteristische 
Eigenschaft eines Systems (a,) vom (absoluten) Range r und vom 
Rationalitäts-Range v kann hiernach auch dadurch ausgedrückt werden, 
dass zwischen den Determinanten rter Ordnung genau r — r lineare 
ganzzahlige Relationen: 
hr He Woran 
(®) sb, |a,.| = bu |e;| ON ol nel 
h=ı TS a er , 
bestehen. Jede dieser Relationen kann, wenn b,, — «a, gesetzt wird, 
einfach durch die Gleichung: 
la |=o WO 
mul MED T, 
dargestellt werden, und diese Gleichung besagt nichts Anderes, als 
dass das System (a,.) in ein (im Sinne der Zeilentransformation) aequi- 
valentes übergeht, wenn eine der Zeilen: 
Klee. b;, G=rtı,rt2,...7) 
hinzugefügt wird. Es können daher auch alle r — r Zeilen b,, hinzu- 
gefügt werden. Da diese von einander linear unabhängig sind, so 
müssen r Zeilen a;., — wenn auch nicht jede — mit den r — r Zeilen 
b,, ein linear unabhängiges System von r Zeilen bilden. Es ergiebt 
sich also, 
dass für jedes System von pq Elementen: 
= 2 
(au Ka 
dessen (absoluter Rang) gleich r und dessen Rationalitäts-Rang 
gleich r ist, ein aequivalentes existirt, welches aus dem ersten 
dadurch entsteht, dass p— r Zeilen weggelassen und r —t 
Zeilen durch ebenso viel andere mit lauter ganzzahligen Ele- 
menten ersetzt werden. - 
Die vorstehende Entwickelung zeigt, dass (falls r>r-+ ı ist) 
nieht bloss zwischen den Determinanten rter Ordnung', sondern auch 
zwischen den Determinanten (t+ ı)ter Ordnung des Systems (a,,) lineare 
! Vgl. die obigen Gleichungen (%). 
