1276 Nachträgl. Mitth. aus der Sitzung d. phys.-math. Classe v. 11. December. 
ganzzahlige Relationen bestehen. Fügt man nämlich dem Systeme (a,,) 
die r— ı Zeilen b,, hinzu, so entsteht ein aequivalentes System von 
p+r-—r Zeilen, für welches alle Determinanten der Ordnung r +1 
verschwinden; und jede der Gleichungen, welche man erhält, wenn 
man eine derjenigen Determinanten (r + ı)ter Ordnung gleich Null 
setzt, die aus (r—t) (r+1) ganzzahligen Elementen b,., und aus 
(t+ 1) (r +1) Elementen a,. gebildet sind, liefert offenbar eine lineare 
ganzzahlige Relation zwischen Subdeterminanten (rt + ı)ter Ordnung von 
Elementen a;,. 
Es ist noch zu erwähnen, dass (unter Beibehaltung der obigen 
Bezeichnungen) der Natur der Sache nach stets vSr<g ist, und 
dass r, für den Fall r—=g, den Werth Null hat, weil alsdann das 
aus den ersten r” Elementen bestehende System (a,), also auch das 
ganze System, im Sinne der Zeilen-Transformation dem »Einheit- 
systeme « 
(4) CR) - 
folglich in der That einem aus lauter ganzzahligen Elementen bestehenden 
Systeme aequivalent ist. Der Rationalitäts-Rang eines Systems (a,,) ist 
also höchstens gleich dem (absoluten) Range, und er ist stets gleich 
Null, wenn die Anzahl der Colonnen nicht grösser ist, als die Zahl, 
welche den (absoluten) Rang des Systems bezeichnet. 
ur 
[0,0 
Ein System: 
(a,,) (ee 
Knorr) 
vom (absoluten) Range r und vom Rationalitäts- Range Null ist einem 
Systeme: 
KON 
In 
(bin) ee 
von lauter ganzzahligen Elementen aequivalent, und zwar im Sinne 
der Zeilen-Transformation. Da in diesem Falle r = o ist, nimmt der 
Index ö in den Gleichungen (X) des vorigen Paragraphen die Werthe 
I,2,...r an, und diese Gleichungen: 
>». ‚(= b,|e, PAg;hi—=1,2,...r 
>bu|@ | a A (ee 
genügen dann, um das Verhältniss der r + ı Determinanten, welche 
aus den r Zeilen von je r + ı Elementen: 
Ay, » Ag; aD Ayns Ars Velen) 
