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Krosecker: Ganzzahlige Auflösung linearer Gleichungen. 1277 
zu bilden sind, durch die Coefficienten b, also in ganzen Zahlen, 
darzustellen. Dies gilt für jeden Werth: s=r +1,r + 2,...9; also: 
für den Fall v= o ist das Verhältniss je zweier Determinanten: 
[a1 1a a 
rational, und dies ist zugleich für diesen Fall charakte- 
ristisch: 
denn jenes Verhältniss ist gemäss $. 6 (9) gleich d,,, und das deımn 
Systeme (a,;) aequivalente System (b,,.), dessen Elemente für kr 
das Einheitsystem bilden, besteht daher für den Fall x = o aus lauter 
rationalen Rlementen. 
Da die Auflösung des Systems der r Gleichungen: 
(M) Ya, Ww, = o a ) 
k Ü h 
dureh: 
w:W, = |a, 
:|a | REM aET 
la g=1,2,..."—1,8,h+ 1,...r 
gegeben ist, so erweist sich auch 
die Lösbarkeit der Gleichungen (M) in ganzen Zahlen w, für 
alle ‘Werthe = r ws >,...9, 
als eine charakteristische Eigenschaft derjenigen Systeme (a,), deren 
Rationalitäts-Rang gleich Null ist. 
8. 9. 
Ist (a) irgend ein System von pg Elementen, dessen (absoluter) 
Rang gleich r, und dessen Rationalitäts-Rang gleich r (von Null ver- 
schieden) ist, so kann man sich die Zeilen so geordnet denken, dass 
die ersten r Reihen von Elementen: 
Ay daye.. Ay (Bun 2) 
überhaupt von einander linear unabhängig und zugleich die ersten 
tr Reihen von Elementen! 
Ars lay..- Ay (ie one) 
in Beziehung auf den Rationalitäts-Bereich Eins von einander 
linear unabhängig sind. Dann giebt offenbar die Rangzahl r des 
ganzen Systems (a,,) zugleich den (absoluten) Rang des aus den ersten 
r Zeilen bestehenden Systems an, und die Zahl r, welche den Ratio- 
