Kronecker: Ganzzahlige Auflösung linearer Gleichungen. 1279 
Hierbei können freilich für einzelne Werthe von i und für ein- 
zelne Werthe von s die Ausdrücke Sa,.m,, gleich Null werden. Aber 
z - 
für alle Werthe von i und s kann dies nieht der Fall sein, da nach 
dem, was am Schlusse des vorigen Paragraphen ausgeführt worden, 
die Existenz von Zahlen »n,,, wofür alle Gleichungen: 
N 2 2: 
N) ( f 2 ) 
k De 
erfüllt sind, eine charakteristische Eigenschaft der Systeme (a,) vom 
Rationalitäts-Range Null ist. Es muss daher mindestens einen Index s 
geben, für den nicht alle r Werthe: 
Sam, Ye 
Be TEE 
gleich Null werden. Setzt man nun: 
\ ÜILND er 
SA Ms = O;,g+ı & : s ) ’ 
so sind die r Grössen @,,,+, ihrem absoluten Werthe nach kleiner 
als 7, und nicht sämmtlich gleich Null. 
U. Diejenigen Zeilen a,;, @,...Q,., wofür der Werth von kr 
beliebig klein und doch von Null verschieden ist, können offenbar 
nicht lauter rationale Elemente enthalten. Jede solche Zeile, die nicht 
lauter rationale Elemente enthält, kann aber — unbeschadet der im 
Anfange dieses Paragraphen gemachten Voraussetzung — als erste 
Zeile genommen werden. Man kann also namentlich diejenige Zeile 
als die erste wählen, wofür der absolute Werth von G;,g4, am 
grössten ist. Alsdann wird: 
>> . 
|| (=1,2,...7), 
und nun kann aus jeder näherungsweisen ganzzahligen Lösung der 
Gleichungen: 
— dA; d; i=2.2 
o N i,g-+1 A id +1 5 i—2,3 7 
MR) Dia an; = SEI: ® 2 ;) 
2 OR Fe e ERRE: 1 
eine ganzzahlige Lösung der Gleichungen: 
S > r DIDI 
ww = — Pi 
(N) = d: a) 
hergeleitet werden. Da nämlich: 
= i, 12 7 
NS (a, mn. =o I: Eh ä 
z Ark? =12,...g 
ist, so genügen, wenn durch: 
Da. 0, = 0, A W=ZN, 
