a r . - . . o 
Kronecker: Ganzzahlige Auflösung linearer Gleichungen. 1285 
lässt sich noch in anderer Weise mit Hülfe einer, auch an sich 
wichtigen, Colonnentransformation des Systems (a,) begründen. 
Um eben diese Transformation auseinanderzusetzen sei zuvörderst 
bemerkt, dass der Rationalitäts-Rang der Definition nach für Systeme, 
die im Sinne der Zeilentransformation aequivalent sind, identisch ist; 
dass er aber offenbar auch ungeändert bleibt, wenn ein System in ein, 
im Sinne der Colonnentransformation, aequivalentes übergeht. 
Nunmehr soll gezeigt werden, 
dass jedes System, dessen (absoluter) Rang grösser ist als 
der Rationalitäts-Rang, durch Colonnentransformation im ein 
aequivalentes verwandelt werden kann, welches die Eigen- 
schaft hat, dass bei Weglassung einer bestimmten Colonne 
der (absolute) Rang um eine Einheit erniedrigt wird, während 
der Rationalitäts-Rang derselbe bleibt. 
Wenn nämlich das System: 
nano oji 
(@) a) 
vom (absoluten) Range r und vom Rationalitäts-Range v ist, und die 
Reihenfolge der CGolonnen und Zeilen so bestimmt wird, dass die 
Determinante der ersten 7” Elemente «a,, von Null verschieden ist, so 
giebt es unter der Voraussetzung r<r (nach $. 7) ganze Zahlen: 
Ge. Ang ; 
für welche die Determinante (r+ı)ter Ordnung: 
la VORLSDHRRET 
Im I — TREE 
verschwindet. Das durch Hinzufügung der Zeile ganzzahliger Ele- 
mente a, gebildete System: 
h=0,1,....P 
7) ; 
ist dem ursprünglichen Systeme: 
In 2) 
(ax) Be) 
im Sinne der Zeilentransformation aequivalent; es ist also ebenfalls 
vom (absoluten) Range r, und es müssen demgemäss alle daraus zu 
bildenden Determinanten (r + ı)ter Ordnung — nicht bloss die oben 
angeführten besonderen — gleich Null sein. 
Es sei nun a‘, der grösste gemeinsame Theiler der g Zahlen a, 
und: 
Aok — do (kn 2) 
Ferner seien die g ganzen Zahlen g, so gewählt, dass: 
>Ag.Ik — 0, (ea) 
wird. Setzt man dann: 
