Kronecker: Ganzzahlige Anflösung linearer Gleichungen. 1289 
(D) 2 (Fa R; 9 >a,R; aD aa >a,R,) 
: =1,2, p) 
©) (ER, Zar R,... 20,R) 
einander aequivalent (vergl. $. 5), wenn die Elemente des einen Systems 
homogene lineare ganzzahlige Functionen der Elemente des anderen 
sind, d.h. wenn Gleichungen: 
> I > 4 N, — ZEN: » on 
7 t 
Bene 
SIR EHN, — > 4; N,  Dnaoell 
e t 
bestehen, in denen 9, und g%, ganze Zahlen bedeuten. Alsdann sind 
aber gemäss $. 5 die beiden Coefficienten -Systeme: 
| 
ro 
S 
(a) 9 (a) DDR q 
im Sinne der Colonnentransformation einander aequivalent, weil sie 
durch die ganzzahligen Transformationsgleichungen: 
DET EID, 
Ka En Br Amen 
A = IQ. ‚4. = I ae Per RR 1,2,...9 
k k K—loRredl 
mit einander verbunden sind. Da nun nach jenem (specielleren) Satze 
(S°) stets Systeme (a%,;) existiren, für welche die hier mit g’ be- 
zeichnete Anzahl der Colonnen mit der Rangzahl r übereinstimmt, so 
folgt, dass in der That für jedes Divisorensystem (D) aequivalente 
Divisorensysteme (D°) existiren, die nur aus so viel Elementen bestehen, 
als die Stufenzahl des Systems angiebt. 
Es verdient noch hervorgehoben zu werden, dass der oben be- 
wiesene allgemeinere Satz (©) auch aus dem speeielleren (©°) gefolgert 
werden kann. 
Wenn nämlich das System (a,) den (absoluten) Rang r und den 
Rationalitäts-Rang r hat, so bestehen — gemäss der Bedeutung der 
Zahlen r und v — genau p — tr linear unabhängige Relationen: 
; R=rTt1,..:p 
PB) I Chili = Ay res le 
in welchen 
Atı,% > Ua rer» Ark (kn 2.2090) 
positive ganze Zahlen, und 
Arrı,ea Arpaks re * Apr (KU 27 0) 
sämmtlich gleich Null sind. Diese p—ı linearen Relationen (W) sind 
aber auch dafür charakteristisch, dass das System (a,) den (ab- 
soluten) Rang r und den Rationalitäts- Rang v hat. 
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