Kronecker: Ganzzahlige Auflösung linearer Gleichungen. 1297 
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Ranges« klar hervor. Denn durch die Bedingungen (U,) und (U,) w 
das aufzulösende Gleichungssystem als 
»vom (absoluten) Range r und vom Rationalitäts-Range r« 
charakterisirt, und eben dieselben Zahlen r und r haben eine maass- 
gebende Bedeutung für den Grad der Verfügbarkeit über die p Grössen 
£, denen die p linearen Functionen: 
4, a Es 
k a) 
durch passende ganzzahlige Werthe von w,,w,,...w, beliebig nahe 
gebracht werden sollen. 
Auch zeigt sich dabei die Analogie, welche zwischen den beiden 
Rangzahlen (r und r) eines Gleichungssystems, in Bezug auf ihre Be- 
deutung für dessen Auflösbarkeit, besteht. Denn während bei dem 
Problem, die linearen Gleichungen: 
SEE, —1,2,...P 
& k=1x2,..2Q 
durch irgend welche Werthe der Unbekannten 2,,2,,...2, aufzu- 
lösen, die Anzahl der ganz beliebig zu bestimmenden Grössen &; gleich 
dem (absoluten) Range r ist, redueirt sich diese Anzahl bei dem 
Problem, die Gleichungen: 
N Ense 
3a, —$; a 
k ek] 
näherungsweise in ganzen Zahlen w,,w,,...w, aufzulösen, auf die 
Zahlr, welche den Rationalitäts-Rang des Gleichungssystems bezeichnet. 
Es darf nieht unerwähnt bleiben, dass in diesem wie im vorher- 
gehenden Paragraphen die Anzahl der Colonnen des transformirten 
Systems (a) stets mit demselben Buchstaben g bezeichnet worden ist 
wie die Anzahl der Colonnen des ursprünglichen Systems (a,), obgleich 
aus der Begründung des Satzes (©) im $. ıı nicht hervorgeht, dass 
die dortige Colonnentransformation auch so bewirkt werden kann, 
dass dabei die Anzahl der Colonnen nicht vergrössert wird. Nun ist 
es zwar für die entwickelten Resultate ohne wesentliche Bedeutung, 
ob die Anzahl der Colonnen des Systems (a7) gleich derjenigen der 
Colonnen des Systems (a,) oder grösser als diese ist. Doch ist auch 
leicht zu zeigen. dass in der That aus jedem Systeme (a,) durch 
Colonnentransformation ein aequivalentes System (a}) gebildet werden 
kann, welches die in jenem Satze (©) angegebene Eigenschaft und 
dabei nieht mehr Colonnen hat als das ursprüngliche System. Man 
braucht nämlich zu diesem Zwecke nur g°? ganzzahlige Coefficienten 
9. der am Schlusse von $. 5 angegebenen Golonnentransformation so 
zu bestimmen, dass deren Determinante gleich Eins und zugleich: 
= In In —_ dr (k,K=1 23.2.9) 
