DANS UN CHAMP MAGNÉTIQUE 253 



En comparant avec (3) nous obtenons 



pour toutes les valeurs de v. La fonction à droite '\i (?/, X, tj^^, [j-i) 

 ne dépend pas de v. Elle est donc une fonction homogène de 

 deuxième degré (ou de dimension deux) par rapport aux quan- 

 tités X, V[JLo> V[ii, car 



Al = - , Wlo = -^ , Wi = — 



'^ V v v 



Cela posé, après l'hypothèse la fonction 'J^ tend vers zéro 

 lorsque X tend vers l'infini. Elle est donc de degré négatif par 

 rapport à X. En tenant [x^ constante et en augmentant «Xq de 

 plus en plus, ce pôle devient dominant devant jx^ et la surface 

 (3) doit tendre vers l'équation d'un cône de révolution de som- 

 met au pôle {Xq. Les termes dans 'p {u) contenant X doivent 

 devenir négligeables devant les termes ne contenant pas X, car 

 lorsque l'action de [x^ devient négligeable devant l'action de 

 [Xq, la distance X entre [x^ et [x^ doit être indifférente. Le degré 

 de ^^ par rapport à {x^ doit donc être inférieur au degré de ^^ 

 par rapport à la même quantité. De même manière on démontre 

 que le degré de ^^ par rapport à [x^ doit être supérieur au degré 

 de ^^ par rapport à «x^. Mais nous avons démontré que ^^ est 



de degré deux par rapport aux quantités V{j.o et V^x^ et que (j;^ 



est de degré deux par rapport à X, V[io ^^ V^Li- Mais cela est 

 impossible car ^^ est de degré négatif par rapport à X et de 



degré inférieur au deux par rapport à V|Xo et V^x^. Il faut donc 

 que ^^ soit identiquement nul ou que 



q. e. d. Soit cp^ = o l'équation du cône de révolution (4), oii 

 (]>(, = ^. Ce cône est à V origine tangent à la surface (3). 



En effet : Pour x, y, z^ infiniment petits, on voit tout de 

 suite que cp tend vers ^^, car le terme 



z — k 



