242 SUR QUELQUES FORMULES 
Séparons le réel de l’imaginaire, nous trouvons les deux inva- 
riants 
PRET Rae PMR PARLER Ge RE ae jet 
Go do + 4 0, + Go Do + 43 03 
Mais nous savons d’autre part, d’après la propriété de parité, 
que les a’ proviennent exclusivement des à, et les b’ des b; les 
invariants sont donc au nombre de trois, ce sont 
Go? — di? — &° — 43° , 
bi” FF b,° a b:? FF b.” , 
Go do + 1 05 + Go Do + 43 3 . 
Ce résultat comprend, comme cas particulier, celui que nous 
cherchons. 
Prenons en effet tous les b nuls, remplaçons les a par de nou- 
velles variables x, et considérons un fétravecteur de composan- 
tes x, , x,, æ,, æ,, Ou bien sous forme quaternionnienne 
X = to+ ti Li + lo Lo + 13 La) . (8) 
Qu'on applique à ce tétravecteur l'opérateur UXU, il se 
trausforme linéairement en un nouveau vecteur X'(x', x", æ', x’, ), 
et l’on a * 
X'= to +i(ü ts + tr + xs) = UXU . (9) 
Cette formule (9) remplit toutes les conditions imposées à 
(3); comme cette dernière, elle a ses coefficients réels, elle 
possède l’invariant 
LG — @ — L'a — La — Lo — Li — > — Ts , 
enfin son déterminant est égal à + 1, et non à — 1, puisque (9) 
fait partie d’un ensemble continu de transformations différant 
les unes des autres par la valeur du quaternion variable U. 
En un mot, toute transformation du type (9), résolue dans ses 
éléments réels, équivaut à une transformation de la forme (3) 
telle que celle qu’on considère dans la théorie de la relativité. 
$ 4. La réciproque est vraie, et tout système de la forme (3) 
peut prendre la forme (9), pourvu qu’il soit direct et laisse inva- 
