318 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 21. März 1907. 
net ist, macht die Linie c=»,r=o zur neuen Polarachse und 
läßt die Anfangsebene ungeändert, so daß r=o in r’=o0 oder (für 
das zwischen den beiden Polen gelegene Stück) in = r übergeht. 
Die in diesem Falle zu verwendenden Transformationsgleichungen 
habe ich an anderer Stelle (Ztschr. f. Math. u. Phys. 44, 1899, S. 327) 
abgeleitet. In etwas veränderter Gestalt und in der hier gewählten 
Bezeichnungsweise lautet die allgemeine Formel, wenn eos7 = c und 
siny„=s gesetzt wird: 
P,„ (cos 6) cosm(r+Yy) = 
— 372 (eos o’) [(— 1)? PX ,(n) eos (pr + my) + (— 1)" =" P7,(#—n) eos (pr'—my)]. 
np Da mp 
Hierin bezeichnet P},(n) eine durch die Gleichung 
mp 
&„&,n!n! d’ da"P,() 
JB= — 2 ULF al i=(C MET I Et UEN IE J 
‚) (n + m)! (n+p)! de? ) de" 
definierte, in bezug auf m und p symmetrische, ganze Funktion von 
c und s, die für m>n oder p>n verschwindet und für n=o in 
P,, (eos n) übergeht. 
“in wichtiger Spezialfall ergibt sich für m =o. Man findet durch 
Ausführung der Substitution, wenn man noch die Beziehung P,, (— cos n) 
= (—ı)""?P,(cosn) beachtet: 
np np np 
IBN(coso)— >r(—1)78 P,, (eos c’) P,, (cos n) cospr'. 
Es ist dies nichts anderes als das Additionstheorem; denn, wie 
man ohne weiteres einsieht, ist cose = eose’c0os7+sine’ siny cos(rT—T'). 
Bei der Verlegung des Koordinatenursprungs genügt es, den Fall 
zu betrachten, daß sie in der Richtung der Polarachse erfolgt; da diese 
stets durch eine vorherige Drehung in die Verbindungslinie des alten 
und des neuen Anfangspunktes übergeführt werden kann. Dabei bleibt 
r offenbar ungeändert. 
Die Polarkoordinaten in den beiden Systemen seien r,c,r und 
r,6,T, die zugehörigen Anfangspunkte, die zugleich die Mittelpunkte 
von O0, und O, sind, seien N, und N,. Dann ist die Entwicklung für 
den Außenraum von O,, wenn R der Radius dieser Kugel ist, 
II = > > CB, nm (cos 2 ,) cos m (F En Yan) LET Tr > R 
und diejenige für den Innenraum von O,, der bis zur Berührung mit 
OÖ, ausgedehnt werden darf, 
i— >>, > Cm Prm (€0S 6,) COSM(F+ Yn) 2. r,<e—R 
Um diesen Ausdruck aus dem ersten abzuleiten. braucht man nur 
P,m (cos 6,)r7""' auf das zweite System zu transformieren. Dazu dient 
