Frosenıus: Über einen Fundamentalsatz der Gruppentheorie. I. 429 
— Zyklen von je r Symbolen zerfällt. Die charakteristische Funktion 
u) ) 
h 
dieser Substitution ist (lI- x’). Denn die r charakteristischen Wurzeln 
einer zyklischen Substitution von r Symbolen sind die Wurzeln der 
Gleichung &’ = 1. Entwickelt man daher (1- x’) + nach Potenzen von X 
so ist für jedes n der Koeffizient von (-x)" ein (zusammengesetzter) 
reeller Charakter von 9, d.h. ein Ausdruck von der Form $(R) = S{(R") 
— 36x (R) = Ex (RT), wo c,(x = 0,1,--. k-1) eine positive 
ganze Zahl ist. (Über die Komposition der Charaktere einer Gruppe, 8 2; 
Sitzungsberichte 1899, 8. 3341.) Ist also w(R) irgendeiner der k ein- 
fachen Charaktere, so ist E Klo) (de) — >, = y(R) ()— — ehe 
wo die positive ganze Zahl c angibt, wie Fa der Charakter 4,(R) in 
S(R) auftritt. Folglich ist 
(1.) 3 x{R)(1-a). — hP(e). 
Hier ist ®(x) eine ganze Funktion A” Grades von x, worin der 
Koeffizient von (-x)” eine (positive) ganze Zahl ist. Ist y(R) nicht 
der Hauptcharakter, so ist ®(0) = 0. Ferner kommt die erste Potenz 
von x nur in dem Gliede vor, worin r—= | ist, und hat daher in ® («) 
den Koeffizienten -%(E) = -f. 
Ist r ein bestimmter Divisor von h, so ist in der obigen Summe 
(I-&’)7 mit 
zx(R)=b, 
multipliziert, wo R die Elemente von 5 durchläuft, deren Ordnung 
gleich r ist. Enthält 5 kein solches Element, so ist d, = 0 zu setzen. 
Dann ist 
h 
(2.) he(z) =3b,(1-x’)r, 
wo r die Divisoren von Ah durchläuft. 
Zunächst betrachte ich einen speziellen Fall: Sei 9 eine zyklische 
Gruppe der Ordnung m, gebildet von den Potenzen des Elementes A. 
Dann ist %(A) eine m“ Einheitswurzel 7, und wenn R = A" ist, so 
ist %(R) =?" DBezeichnet man die Funktion ®(x) für diesen Fall 
mit ®,(x), so ist 
(3.) m&,(2) = 3 pı(1-2%)@. 
Hier durchläuft d die Divisoren von m, und «#, ist die oben mit b, 
bezeichnete Größe. Ist p von 1 verschieden, so ist das konstante Glied 
dieser Funktion 
(4) aa: 
43* 
