Frosentus: Über einen Fundamentalsatz der Gruppentheorie. 11. 431 
Hier durchläuft n die Divisoren von A, und es ist 
(7-) nn —EX(R) (R"—=E), 
wo R alle Elemente von 5 durchläuft, deren Ordnung r in n auf- 
geht, oder die der Gleichung R" = E genügen. 
Entwickelt man die Summe (6.) nach Potenzen von x, so sind 
alle Koeffizienten ganze Zahlen. Daraus ist leicht zu schließen, daß 
auch die Größen a, alle rationale ganze Zahlen sind. Denn zunächst 
it a=/f, 4 —=0(, außer für den Hauptcharakter, wo , =1 ist. 
Seien 
1,0. 0,m,-- 9,0: 8,2 
die Divisoren von Ah, der Größe nach geordnet. Angenommen, für 
n = 1,:.--! sei schon bewiesen, daß a, ganz ist. Streicht man dann 
in jener Summe die Glieder, die den Werten n=1,---/ und dem 
Werte n = A entsprechen, so hat auch die übrigbleibende Summe 
A Ba(a") + +a,Ba(ar) +. +a,Ba(a°) 
m p $ 
die Eigenschaft, daß in ihrer Entwicklung nach Potenzen von x alle 
Koeffizienten ganze Zahlen sind. Die Potenz «" kommt nur im ersten 
Gliede vor und hat den Koeffizienten —a,. Folglich ist a, eine 
ganze Zahl. 
Ist x(R) ein Charakter einer Gruppe 9 der Ordnung h, ist n ein 
Divisor von h, und durchläuft R die Elemente von 5, die der Gleichung 
R" = E genügen, so ist 2 %,(R) eine durch n teilbare rationale ganze Zahl. 
Wählt man für % den Charakter 4”, so möge die (positive oder 
negative) ganze Zahl a, mit «a bezeichnet werden. Dann ist 
na) = 3.x®(R) (R"=E). 
R 
Sei e(Z) =1, aber e(R) = 0, falls R von E verschieden ist. Dann 
kann man auch schreiben 
na”) — 3 e(R")x®(R) («=0,1,.-.k—]), 
R 
wo Ralle % Elemente von 5 durchläuft. Mit Hilfe der zwischen den 
Werten der k Charaktere bestehenden bilinearen Relationen kann man 
diese Gleichungen auflösen, und erhält 
(8) ER) = x. x(R). 
n x 
Ist n ein Divisor von h, so ist —&(R) ein (uneigentlicher) Charakter 
von 9. 
Oder: 
