Frogenıus: Über einen Fundamentalsatz der Gruppentheorie. 1. 435 
genügen, so ist > %,(RR) eine ganze algebraische Zahl, die durch den größten 
gemeinsamen Divisor von n und h teilbar ist. 
Genau wie in $ 4 erkennt man, daß es genügt, den Satz für 
den Fall zu beweisen, wo n = p’ eine Potenz einer Primzahl p ist. 
Der invariante Komplex möge zunächst nur aus einem invarianten 
Elemente A der Ordnung % bestehen. 
Für A= Eist der Satz oben bewiesen. Ist % nicht durch p 
teilbar, also n = p’ zu k teilerfremd, so sei mn = 1 mod. A. Ist dann 
B= A", so ist B"= A. Als Potenz von A ist B ein invariantes 
Element von 9. Ist alsor RR. = Arzund R = 318, so ist S? = E und 
umgekehrt. Daher ist 3 %(S) durch den größten gemeinsamen Divisor 
d von n und A teilbar. Nun ist aber (Uber die Primfaktoren der Gruppen- 
determinante, $S 12, S. 1381, Sitzungsberichte 1896), falls 4 ein ein- 
facher Charakter ist, 
1 2, 
x) — a XlBIXO) 
wo x) eine Einheitswurzel ist. Mithin ist auch 5 %(R) durch 
d teilbar. 
Ist zweitens & durch p teilbar, und ist R"—= A, so ist nk die 
Ordnung von R. Denn es ist R’""—= E; ist aber q irgendeine Prim- 
zahl, die in nk, also auch in %k aufgeht, so ist 
nk k k 
Daelemzeri 
von E verschieden. Ich teile nun die Lösungen der Gleichung R = A 
in Klassen, indem ich zwei Lösungen zu derselben Klasse rechne, 
wenn jede eine Potenz der andern ist. Ist 2= 1 (mod. A), so ist 
(R)" =4A'= A. Damit umgekehrt eine Potenz von R, S = R! der 
Gleichung 5” — A genüge, muß /=1 (mod. Ak) sein. Dann ist aber 
! zu nk teilerfremd, und mithin kann man »n so bestimmen, daß 
Im =1 (mod. nk) und folglich Rt = S" wird. Der Teil der Summe 
3 %(R), der sich auf die Lösungen einer Klasse erstreckt, ist daher gleich 
_ 2 Sl) 
Die Potenzen von R bilden eine zyklische Gruppe WR der Ordnung n%. 
Auch für diese ist % ein Charakter. Ist $ einer der einfachen Cha- 
raktere von RN, aus denen x, zusammengesetzt ist, so ist S(R) —E 
eine (nk)te Wurzel der Einheit. Daher ist 
= SIE FAR) En p 
A 
»NL 
also gleich on oder 0, je nachdem p* — | ist oder nicht. Mithin ist 
co durch r teilbar, also auch 3 %(R), erstreckt über alle Lösungen 
der Gleichung R" = A. 
Sitzungsberichte 1907. 44 
