184 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 4. Februar 1909. 



oder auf eine größere Zahl auszudehnen'. Die Größen r, und v s be- 

 deuten die Neigung der Stabachse an den Enden. 



Solange die Hebelarme /' der Kräfte S nicht Null sind, handelt 

 es sich um eine Aufgabe der Biegung und nicht der eigentlichen 

 Knickung. Dafür geben die Gleichungen (5) die vollständige Lösung, 

 sobald die Höhenlage der Knotenpunkte feststeht; denn dann 

 sind die Feldneigungen v, 2 , v t3 usw. durch (2) bestimmt. Sind nun z. B. 

 zwei Momente M gegeben, so können die drei übrigen und die beiden 

 Endneigungen v I und v s aus den fünf Gleichungen (5) berechnet werden. 

 Am häufigsten ist der Fall, daß die Endmomente M, und M. gegeben 

 sind, und daß M, = M, 5 = O ist. Sind dagegen die Endneigungen v t 

 und v a durch Einspannung der Stabenden bestimmt, so liefern die Glei- 

 chungen (5) die fünf Momente M, bis ]\L. Auch in diesem Falle ist ge- 

 wöhnlich v t = V. = o. Liegen die Stützen alle in gleicher Höhe, so 

 vereinfachen sich die Gleichungen (5) dadurch, daß die Feldneigungen 

 v 12 bis v 4S Null werden. Liegen die .Stützen nicht gleich hoch, so treten 

 selbstverständlich Biegungsmomente auch dann auf, wenn der Stab un- 

 belastet ist. Daraus folgt, daß bei einem Stabe mit spannungslosem 

 Anfangszustand die Feldneigungen stets Null sein müssen. 



Versteht man nun unter der Knickung eines geraden Stabes wie 

 üblich, einen Vorgang, der einen spannungslosen Anfangszustand vor- 

 aussetzt, so sind bei Anwendung der Gleichungen (5) auf diesen Zustand 

 nicht nur die Hebelarme / der Stabkräfte, sondern auch alle Feldnei- 

 gungen gleich Null anzunehmen, wenn der Stab in allen Knotenpunkten 

 gestützt ist. Anders liegt die Sache, wenn einzelne Stützen oder alle 

 bis auf die zur Festhaltung notwendigen fehlen. Wir wollen den letzten 

 Fall zuerst betrachten, weil sich dann der andere, bei dem mehr als 

 zwei Stützen vorhanden sind, schneller erledigen läßt. 



A. Der Stab ohne Zwischenstützen. 



Der Stab ist räumlich festgelegt, wenn er in einem Punkte seiner 

 Achse unverschieblich, aber frei drehbar gestützt, in einem anderen 

 nach der Achsenrichtung geführt ist, oder auch wenn er in nur einem 

 Punkte fest eingespannt ist. Wir nennen die erste Anordnung kurz 

 den Stab auf zwei Stützen, die andere den eingespannten Stab". 



1 Das in solchen Fällen übliche Verfahren der Herleitung von Ausdrücken mit 

 allgemeiner Feld- und Knotenpunktbezeichnung (» — i, », n + i) ist weniger über- 

 sichtlich und erfordert größere Aufmerksamkeit zur Vermeidung von Irrtümern hei 

 der Anwendung auf einen bestimmten Fall, besonders wogen der abweichenden Form 

 der eisten und letzten Gleichung (für die Endfelder). 



" Bei dieser Benennung ist. der Kürze wegen davon abgesehen, daß unter Um- 

 ständen der Stab auf zwei Stützen durch eine den Achsenneigungen seiner Enden 



