192 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 4. Februar 1909. 



Dies sind zehn Gleichungen mit zwölf Veränderlichen 



M>; 3/ 2 ; M 3 ; M 4 : M s ; v,', "„; " 23 ; v 34 ; v 45 ; i/ 5 ; A. 



Sind zwei beliebige davon gegeben, so liefern die Gleichungen 

 eine Beziehung zwischen den zehn übrigen. Es würde aber der Natur 

 der vorliegenden Aufgabe nicht entsprechen, wenn man vornherein 

 über andere als die zu den Endknoten gehörenden Veränderlichen 

 M l , M., v t , v 5 verfügen wollte. Für deren Bestimmung ist es nun 

 wichtig zu beachten, daß sie nicht etwa ganz nach Willkür angenommen 

 werden können, sondern stets so beschaffen sein müssen, daß die 

 Gleichungen (20) erfüllt bleiben, wenn alle anderen Veränderlichen 

 Null werden, d. h. wenn der Stab in seinen Anfangszustand übergeht. 

 Da dieser als geradlinig vorausgesetzt wurde, so ist hierdurch die 

 Annahme von Null verschiedener unveränderlicher Werte der i/, und 

 v s ausgeschlossen. Der Stab wäre sonst schon im unbelasteten Zu- 

 stande schief eingespannt und gekrümmt. Ebensowenig dürfen anderen 

 Veränderlichen von Null verschiedene Werte beigelegt werden. Es 

 bleiben danach für die anzunehmenden zwei Größen nur die Bedin- 

 gungen übrig: 



M J = o und M- = o oder v, = o und v 5 = o 

 oder M , = o und v s = o oder v, = o und M 5 = o . 



Ein Punkt, in dem stets M = o, ist frei drehbar, ein solcher, 

 in dem v = O, ist fest eingespannt 1 . 



V. Die Knickbedingungen. 



Wenn der Stab in irgendeiner der vorher erwähnten Weisen an 

 den Enden festgehalten wird, so verschwinden aus den Knickgleichungen 

 die zwei überzähligen Veränderlichen. Da von solchen freie Glieder 

 nicht auftreten, und da alle Glieder in den Veränderlichen linear sind, 

 so haben wir es nunmehr mit einem sogenannten vollständigen 

 System homogener linearer Gleichungen zu tun, das nur dann 

 durch von Null verschiedene Werte der Veränderlichen befriedigt werden 

 kann, wenn zwischen ihnen noch eine Beziehung besteht. Diese Be- 



1 Statt der unveränderlichen Werte Null könnte man auch für jedes .Stallende 

 eine Beziehung /.wischen dem Moment M und der Neigung v annehmen, die nur so 

 beschaffen zu sein brauchte, daß die zusammengehörigen M und v gleichzeitig ver- 

 schwinden. Dem würde z. B. eine elastische Einspannung entsprechen. Ein besonderer 

 Kall dieser Art wird im Abschnitt VI behandelt, weshalb wir hier davon absehen. 

 Hei den oben gemachten Annahmen ist der Stab von anderen elastischen Gebilden 

 unabhängig. 



