282 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 18. Februar 1909. 



Neue Sätze über Symmetralfunctionen und die 

 AßEL'schen Functionen der RiEMANN'schen Theorie. 



Von F. Schottky und H. Jung. 



Erste Mittheilung. 



§ I- 



Uenken wir uns mehrere Grössen p , q , r u. s. f. gegeben, als alge- 

 braische Functionen einer unter ihnen. Die Gesammtheit der ratio- 

 nalen Functionen derselben bildet einen algebraischen Körper, und 

 ein einzelnes Werthsystem der Veränderlichen bezeichnen wir als einen 

 Punkt £ des Körpers. Man kann für den Körper eine bestimmte An- 

 zahl linear-unabhängiger Differentiale erster Gattung du(Q aufstellen. 

 Die zugehörigen Integrale haben eine bestimmte Gruppe von Perioden, 

 und ordnet man jedem der aufgestellten Differentiale eine unabhängige 

 Veränderliche u zu, so giebt es eine Thetafunction erster Ordnung, 

 ©(«), die genau dieselben Perioden hat wie das System der Integrale. 

 Die mit Hülfe von 0(w) gebildeten AßEi/schen Functionen bleiben voll- 

 ständig ungeändert, wenn man die Variabein u um die Perioden der zuge- 

 hörigen Integrale u(^) vermehrt, und sie gehen in rationale Functionen 

 des Körpers über, wenn man die u durch die Integrale u{Q ersetzt. 

 Stellt man sich nun das ganze System der zum Körper gehörigen 

 geraden und ungeraden Theta vor, so gehört im Allgemeinen zu jedem 

 ungeraden Theta ein bestimmtes Differential erster Gattung: dasjenige, 

 in welches das lineare Anfangsglied von ®(u) übergeht, wenn man 

 in ihm die Variabein durch die ihnen entsprechenden Differentiale 

 ersetzt. Setzt man für die einzelnen Variabein u die Differenzen ein: 

 w(£) — w(£') (also Integralfunctionen von £, die im Punkte £' ver- 

 schwinden), so werden nach einem sehr wesentlichen Satze der Riemann- 

 schen Theorie die Quadrate der ungeraden Theta proportional den 

 Producten der ihnen entsprechenden Differentiale du(£)du(£'}; wir 

 schreiben kurz 



A • ® 2 = du du' ; 



A bedeutet hier einen Factor, der in allen diesen Gleichungen derselbe ist. 



