Schottky und H. Jung: AiiEi/sche Functionen. I. 283 



Es seien speciell drei Veränderliche p , q , z gegeben, die durch 

 zwei Gleichungen 



G(p,q) = o, z* = H(p, q) 



verbunden sind; G bedeute eine ganze, H eine rationale Function von 

 p , q. Das Geschlecht des Körpers (p , q) sei r , das des Körpers 

 (p , q, z) , welches im Allgemeinen grösser als t ist, sei p = u -t- r. 

 Zum Körper (p , q , z) gehören dann r Differentiale erster Gattung 

 dw{Q, die zugleich rationale des Körpers (p , q) sind, und <x andre, 

 dv(£), die durch Multiplication mit z in rationale Differentiale des 

 Körpers (p , q) übergehen. War zuerst ganz beliebig ein System von 

 p = (7 + t Differentialen du(£) des Körpers (p , q , z) aufgestellt, so sind 

 die Ausdrücke dv(^), dw(£) bestimmte lineare Functionen der du(£), 

 und wenn wir mit (v) und (w) dieselben linearen Functionen der un- 

 abhängigen Veränderlichen (u) bezeichnen, so sind die ct-i-t Grössen 

 v und w unter einander unabhängig. 



Zu den r Differentialen dw{Q gehört eine Classe AßEi/scher Func- 

 tionen der Variabein w und ein System von Theta, die wir hier mit 

 S- bezeichnen. Aber die w sind lineare Functionen der u, und somit 

 sind die AßEi/schen Functionen dieser zweiten Classe ebenfalls aufzu- 

 fassen als solche der u, die durch die Perioden der Integrale /du nicht 

 geändert werden. 



Es kommt nun darauf an, ein System von Thetafunctionen der 

 er unter einander unabhängigen, von den u aber abhängigen Variabein v 

 zu definiren, das den er Differentialen efc(£) entspricht. Man kann hier 

 das System der 4" Functionen </> wählen; aber auch das System der- 

 jenigen, die aus den Functionen cp hervorgehen — wir wollen diese 

 transformirten mit v) bezeichnen — indem man ihre Periodicitätsmoduln, 

 w aß oder T aS> , durch ihre Hälften ersetzt. 



Beide Systeme, und beide Classen ABEi/scher Functionen, sind 

 für uns in gleicher Weise nothwendig. In dem besondern Falle, wo 

 u = t — 1 ist, ist das System der vi in Hrn. Wirtinger's » Untersuchungen 

 über Thetafunctionen« erörtert worden. Wir wollen hier eine allge- 

 meine Definition der *i, unabhängig von der der ^-Functionen, geben. 



Bildet man, indem man unter oder Q(u) irgend eine der 4 I + r 

 Functionen versteht, die zu den cr-+-r Differentialen du(Q gehören, 

 und unter S oder S-(w) irgend eine der 4' Functionen, die in derselben 

 Weise zu den t Differentialen dw(^) gehören, den Quotienten 



Q'(») _ n 



so ist dies eine Function der cr-f-r Grössen u, die sich nur um Expo- 

 nentialfactoren ändert, wenn man die Grössen u um irgend eine Periode 



