284 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 18. Februar 1909. 



der entsprechenden Integrale vermehrt. Es ist nun möglich, falls © 

 und 3 richtig normirt sind, eine Thetafunction erster Ordnung der 

 er Variabein v zu bestimmen, die bei der Periodenvermehrung der u 

 genau dieselben Änderungen erfährt wie Q, so dass bei diesen Ände- 

 rungen der Variabein u der Quotient 



yj(v) 3(to) 



völlig ungeändert bleibt. Ist eine solche Function *i(i') bestimmt, so 

 können wir auch das ganze System der \ T Grössen vj bilden. 



Die beiden Systeme der 4/ Grössen 3- und der 4/ Grössen *] stehen 

 sich jetzt gegenüber. Zwei Grössen beider Systeme nennen wir 

 zusammengehörig, wenn ihr Product sich als lineares Aggregat von 

 Quadraten der Functionen ausdrücken lässt. Damit ist eine Be- 

 ziehung hergestellt zwischen den einzelnen Grössen beider Systeme. 

 Allerdings keine eindeutige. Die Perioden der v) und 3 decken sich 

 nicht vollständig. Ist cr>r, so giebt es eine Gruppe G von 2" _ 

 halben Perioden der Integrale fdu(Z), die, abgesehen von der in 

 der Gruppe enthaltenen ganzen Periode, jedes v\ in eine andre Function 

 des Systems überführen, wogegen die 3 ungeändert bleiben. Ist um- 

 gekehrt er < r, was nur im Falle er = t — 1 eintritt, so giebt es eine 

 ausgezeichnete halbe Periode x , die jedes 3 in eine andre Function 3„ 

 überführt, die v\ aber ungeändert lässt. Wir können nun den Satz 

 aussprechen: 



Ist <t = t, so wird durch die Forderung >)&cü0 ! jedem »] ein & 

 zugeordnet, und umgekehrt. Ist <t>t, so gehört zu jedem 3- eine 

 Gruppe von 2^ _T Grössen v\, die durch die Halbperioden der Gruppe G 

 in einander übergeführt werden. Da das Product v]3 = 2c x 0* eine 

 gerade Function ist, so sind alle zusammengehörigen vj gleichartig, 

 d. h. sämmtlich gerade oder sämmtlich ungerade, je nachdem das ent- 

 sprechende S- gerade oder ungerade ist. Ausserdem ist, wie man so- 

 fort sieht, der Quotient zweier *|, die durch eine Halbperiode der 

 Gruppe G aus einander hervorgehen, und nicht bloss das Quadrat 

 eines solchen Quotienten, eine Function der u, welche durch die 

 ganzen Perioden der Integrale u(£) nicht geändert wird. 



Ist cr<r, also er = t — 1, so gehört zu jedem v; ein Product gleich- 

 artiger 9-, die durch die ausgezeichnete Halbperiode x in einander 

 übergeführt werden; ebenso entspricht jedem Producte gleichartiger 3- 

 ein bestimmtes *;. 



Im Ganzen werden also, wenn <t>t ist, den 2 2T Functionen 3 

 2" + T Functionen vj zugeordnet, und wenn o~<r ist, den 2 2 ~ Functionen vj 

 2 T + r Functionen 3. 



