Schottky und H. Jung: ABEi/sche Functionen. 1. 285 



Für die ungeraden jj, oder genauer: für die Producte zusammen- 

 gehöriger ungerader *») und S, gilt nun ein Satz, der dem in der Formel 

 A- (-Y = dudu' enthaltenen RiEMANN'schen entspricht. In derselben 

 Weise, wie du zu 0, gehört zu jedem ungeraden 3- ein durch das 

 Aafangsglied bestimmtes Differential dw, zu jedem v\ ein de: dabei 

 sind dir und zdv rationale Differentiale des Körpers (p,rj). Es mögen 

 nun wieder für die Variabein u die Integraldifferenzen //(?) — u(£') ein- 

 geführt werden. .Sind alsdann »j,S zwei zusammengehörige ungerade 

 Functionen, de. dw die ihren Anfangsgliedern entsprechenden Diffe- 

 rentiale, und do . dw dieselben Differentiale in Bezug auf den zweiten 

 veränderlichen Punkt £', so ist 



AjjS- = %(dvdw -\-dwdv) , 



wo A denselben Factor bedeutet, der in der Formel A0 J = dudu' 

 auftritt. 



Wendet man diesen Satz an auf den Fall <r = r — i , so sieht 

 man leicht, dass in diesem Falle das Differential dr, das dem Anfangs- 

 gliede irgend eines ungeraden v\ entspricht, bis auf einen constanten 

 Factor identisch ist mit der Quadratwurzel aus dem Producte der 

 Differentiale dw, dw, , die durch die Anfangsglieder der beiden zu v\ 

 zugehörigen Functionen 3, S, bestimmt sind. Eine genauere Unter- 

 suchung (mit Hülfe der ^-Functionen) zeigt, dass die hier auftretenden 

 constanten Factoren alle denselben Werth haben, so dass man direct 

 setzen kann : 



dt) = Vdwdw K . 



Ferner aber ergiebt sich, dass auch die Anfangsglieder der geraden v\ 

 identisch sind mit denen der zugehörigen Ausdrücke KSS, : 



„ (o) = |/S(o)S„ (o) . 



Es besteht demnach der wichtige Satz: 



Wenn man bei einem System Riemann scher Thetafunctionen von 

 r Veränderlichen eine halbe Periode v. wählt und die _i r-r Producte SS-, 

 aufstellt, die aus gleichartigen Factoren bestehen, so existirt ein zweites 

 im Allgemeinen nicht der RiEMANN'schen Theorie angehöriges System 

 von 4 7 "" 1 Thetafunctionen, die nur von t — i Veränderlichen abhängen 

 und die den aufgestellten Producten SS, zugeordnet sind; die Werthe, 

 welche die geraden Thetafunctionen dieses zweiten Systems annehmen, 

 wenn die Variabein gleich o gesetzt werden, sind identisch mit den 

 Quadratwurzeln der entsprechenden Producte S(o)S, (o). 



