286 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 18. Februar 1909. 



Diese Sätze ergänzen und erweitern die Resultate, die früher für 

 den Fall r = 4 gewonnen waren 1 . Sie machen es möglich, mannig- 

 faltige Gleichungen zwischen den Grössen S-(o) aufzustellen, die im 

 RiEMANN'schen Falle erfüllt sind, in dem allgemeinen aber nicht. 



Wir wählen, im Anschluss an die Definitionen der Arbeit: »Zur 

 Theorie der Symmetralfunctionen « , zweite Mittheilung von F. Schottky, 

 Sitzungsber. 1908, S. 1084, drei Halbperioden: eine imaginäre (oV£) 

 und zwei reelle, S und A, von denen die eine, S, symmetrisch, die 

 andere alternirend sein soll. Die Charakteristiken von S und A seien 

 (■k-s) und (^-a), so dass die s und a ganze Zahlen bedeuten, welche den 

 Bedingungen s„, = s a , «„, = — a a genügen. 



Wir bilden den aus p ■+- 1 Gliedern bestehenden Ausdruck 



und stellen die Summe auf 



M 

 erstreckt über die reellen Halbperioden (w) , die der gegebenen <S con- 

 gruent sind. Es ist dies eine — nicht vollständig willkürlich ge- 

 wählte — Function des Systems der \° Grössen 0. Wir bezeichnen 

 sie einfach mit oder Q(u). 



Da die (w) einer symmetrischen Halbperiode congruent sind, so 

 sind in jedem Gliede die Differenzen n a — n a > ganze Zahlen. 



Wir stellen ein System imaginärer alternirender Halbperioden 

 (dwi) auf, indem wir für die (d) alle 2 T modulo 2 verschiedenen alter- 

 nirenden Reihen ganzer Zahlen setzen. Wir bilden die über diese 

 2 T Systeme (diri) zu erstreckenden Summe 



S ± (u -4- diri) = f(u) , 



indem wir das Vorzeichen von Q(u-\-dTri) gleich -I- 1 oder — 1 an- 

 nehmen, je nachdem die Zahl 



%a a d a 



gerade oder ungerade ist. — Hier bezieht sich die Summation auf 

 die eine Reihe der paarigen Randlinien des Symmetrals, während 



1 F. Schottky. Zur Theorie der ABEi.'schen Functionen von vier Variabein. 

 Journ. f. Math. Bd. 102. — Über die Moduln der Thetafunctionen. Acta Math. Bd. 27. 



