Schottky und H. Jung : AiiEi-'sche Functionen. I. 28/ 



sonst für ol alle Indices zu setzen sind, die den p -+- 1 Randlinien ent- 

 sprechen. — Da 



V n„d„ = ^ (n a — n a ,) d a 



ist, so folgt: 



f(u)=X(v(w)e*M), 



2 (n a -n a > + a a )d a 

 (d) 



Aber dieses v(w) ist gleich 2 T , wenn die Zahlen n« — n„, + a a sämmt- 

 lich gerade sind, und sonst gleich o. Es ist daher : 



/(«)=2 T 2«*M, 



wo jetzt die Summation zu erstrecken ist über alle halben Perioden (w), 

 deren Charakteristiken den beiden Bedingungen 2n a = s a inod 2 und 

 n a — n a . -+- a a = o mod 2 oder, was dasselbe ist : 



n a -+- n a' — S « "+" fl a > W a W «' = fl « m0( l 2 



genügen. Wir zerlegen nun (cu) in eine symmetrische Halbperiode (w), 

 deren Charakteristik durch die Zahlen -i-(n a -hn a .) gegeben ist, und eine 

 alternirende w". Die erstere ist nach den aufgestellten Formeln con- 

 gruent «S-J-il, die letztere congruent A. Da ausserdem, wie leicht zu 

 sehen, % (w) = % (w') -+- % (w") ist, so ergiebt sich: 

 f(u)= 2>(4(t(), 



wo </>(«) , -^{u) auch wieder Reihen sind mit dem allgemeinen Glieder /M ; 

 nur erstreckt sich bei f (w) die Summation über alle symmetrischen 

 Halbperioden (w), die congruent A ■+- S , bei 4* («) über alle alterniren- 

 den, die congruent A sind. 



Im Falle er = r — i , wo keine unpaarigen Randlinien vorhanden 

 sind und deshalb die Variabein nur paarweise auftreten, ist 



^ (n a -+■ n a ) = o . 



Da nun n a -+- n a . = s a ■+■ a a mod 2 ist, so folgt, dass in diesem Falle 



%(s a ) = ^a«mod 2 



sein muss. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, so wird die aufgestellte 

 Gleichung illusorisch, /(«) und <p{u) sind dann identisch o. Da in dem 

 Ausdruck von <p (u) die Variabein u nur in den Verbindungen 



V n a u a (n a . = n a , V n„ = o ) 



