288 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 18. Februar 1909. 



vorkommen, so hängt f(u) nur von den <r Grössen v ab, ebenso 4 / ( u ) 

 nur von den r Grössen w. 



Verstehen "wir unter (2M771) eine imaginäre Periode, bei der alle 

 Zahlen M„, die sich auf die paarigen Randlinien beziehen, gleich o 

 sind — also eine solche, die durch Umkreisung der unpaarigen Rand- 

 linien allein gewonnen wird — , dann ist leicht zu sehen, dass \J/ (w) nicht 

 geändert wird, wenn man das System (u) um die Halbperiode (Mivi) 

 vermehrt. Denn die in \|/ («) vorkommenden Differenzen u„ — u a . werden 

 davon nicht berührt. Dagegen geht </> («) in eine andere Function des- 

 selben Systems über. Auszunehmen ist nur der Fall, wo die <r-+-i — r 

 Zahlen M«, die wir willkürlich gelassen haben, sämmtlich gerade, oder 

 sämmtlich ungerade sind. Nehmen wir z. B. alle diese M a gleich i 

 an, so tritt, wenn wir <p (u -t- Miri) bilden, zu dem Exponenten des 

 allgemeinen Gliedes hinzu: iriN, wo N die Summe der n a ist, die 

 den unpaarigen Randlinien entsprechen. Da aber die Summe aller n„ 



gleich o ist, und die paarigen einander gleich sind, so ist N= — 2 "V n„. 



Es ist demnach N eine ganze Zahl, und zwar congruent ^(^Jmod 2. 



Folglich ist (p(u-h M~i), vom Vorzeichen abgesehen, mit <p(u) identisch. 

 Wir erhalten daher nur er — 7, nicht cr-t-i — r incongruente Halb- 

 perioden (Miri), die 4^{u) ungeändert lassen, </>(») aber ändern. Aus 

 ihnen entspringt durch Zusammensetzung die ganze Gruppe G der 

 2*~" Halbperioden, die, abgesehen von der in der Gruppe enthaltenen 

 ganzen Periode, die Functionen f ändern, die \^ aber nicht. 



Dies gilt, wenn überhaupt unpaarige Randlinien vorhanden sind. 

 Ist das nicht der Fall, so existirt umgekehrt eine Periode (2 Km), deren 

 Hälfte die Function 4" ändert, aber <p ungeändert lässt. Diese Periode 

 wird dadurch dehnirt, dass man die der einen Reihe von Randlinien ent- 

 sprechenden Zahlen K: Ä", . K 2 ■ • K T , gleich 1 , die r übrigen gleich o 

 setzt; sie ist also beim reellen Symmetral die Periode der Symmetrieaxe. 

 </> hängt hier nur ab von den Differenzen der Summen u„ -+- u a -, bleibt also 

 ungeändert bei der Vermehrung von (a) um (K-rri). Dagegen ändert 

 sich jede der Differenzen u a — «„., von denen \p abhängt, um tvl 



Es ist klar, dass die aufgestellte Formel bestehen bleibt, wenn 

 wir alle Grössen u> durch ihre Hälften ersetzen. </> geht dadurch über 

 in eine Function »j, die durch die Reihe gegeben ist: 



H 

 Die Summe ist zu erstrecken über alle reellen symmetrischen Halb- 

 perioden (cd), die der Summe der beiden gegebenen, A und S, con- 



