Schottkv und H. Jung: AßEi/sche Functionen. I. 289 



gruent sind. \J< geht über in die entsprechende Function 9-. Jedes 

 Glied von /(«) und somit auch f(u) selbst wird eine Function der 

 Grössen u, die bei der Vermehrung der u um die Perioden der Inte- 

 grale /du genau dieselben Änderungen erfährt wie das Product zweier 

 Grössen 0, von denen das eine aus dem andern durch die Halb- 

 periode <S hervorgeht. 



Wir nehmen aber jetzt die Grössen s„ sämmtlich gleich o an, 

 so dass die symmetrische Halbperiode S fortfällt. Willkürlich bleibt 



die imaginäre (Swi), und, bis auf die Bedingung ^T (o„) = o mod 2, 



die für <r = r — i erfüllt sein muss, die reelle alternirende A. Dann 

 verhält sich das Product vß in Bezug auf die Perioden der Integrale 

 u(£) so, wie 2 und ist somit als lineares Aggregat von Quadraten 

 der Functionen ausdrückbar. 



Denkt man sich nun die vollen Systeme der 4/ Grössen & und 

 der 4* Functionen yi aufgestellt, so kann, wenn man den Fall u = r — 1 

 ausschliesst, in unsrer Formel, wegen der Willkürlichkeit von {Siri) 

 und A, das 9 jede beliebige Function ihres Systems sein. Zu jedem 

 S- gehört also mindestens ein v\ von der Art. dass vß- co 2 ist. Dann 

 folgt aber sofort, indem wir die Variabein u um die Halbperioden (Mni) 

 der Gruppe G vermehren: zu jedem 9- gehört eine bestimmte Gruppe 

 von 2 T ~ r Functionen v\ des andern Systems. 



Nimmt man u = r — 1 an, so ist 9 nicht ganz beliebig; denn 



hier tritt die Beschränkung : ^ (ö„) = o mod 2 ein. Dagegen ist der 



andere nur von t — 1 Variabein abhängige Factor in diesem Falle 

 beliebig. Indem man (u) um die Halbperiode /. = (Kiri) vermehrt, 

 ergiebt sich : zu jedem *j gehören zwei Functionen 3- , 3-„ des andern 

 Systems. 



Eine Function, die sich als lineares Aggregat der Grössen @ 2 dar- 

 stellen lässt, ist nothwendig gerade. Zusammengehörige Functionen 

 »] , £• müssen demnach nothwendig gleichartig, d. h. beide gerade 

 oder beide ungerade sein. Es gehört daher, für c">r, zu jedem S-, 

 eine Gruppe von 2'~ -T mit 3- gleichartigen Functionen *i , die durch 

 die Gruppe G in einander übergeführt werden; für c = r — 1 gehören 

 zu jedem *i zwei gleichartige 3 , die durch die Halbperiode x in ein- 

 ander übergehen. 



Umgekehrt gehört natürlich, für cr>r. zu jeder Gruppe gleich- 

 artiger v\ , die durch die Halbperioden G in einander übergeführt 

 werden, ein bestimmtes S-, und fiir <r = r — 1 zu jedem Producte S-S-, 

 gleichartiger C- ein bestimmtes v\. 



