290 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 18. Februar 1909. 



Setzen wir nun für die Variabein u die Integrale u(P) ein, zu- 

 nächst mit willkürlichen Integrationsconstanten. Dann wird, wenn *| , S- 

 zusammengehörige Functionen sind, der Quotient 



e 2 



eine rationale Function von p , q , z. Daraus folgt, dass auch der Quotient 

 zweier *j , die zu demselben S , sowie der zweier vj , die zu demselben S- 

 gehören, eine rationale Function von p , q , z ist. Für die Quotienten 



T 



des Falles u = t — i ergiebt sich hier, dass sie die Form zR(p , q) 



bekommen; denn ihre Quadrate sind in Bezug auf p , q rational. 



Definiren wir jetzt die Variabein u schärfer als Functionen von £ , 



indem wir für sie die Integraldifferenzen «(£) — «(£') setzen. Dann 



sind die ungeraden Theta der drei Systeme Functionen von £, die 



im Punkte £' verschwinden, im Allgemeinen von der ersten Ordnung. 



d® dv\ dB- . . 



Bezeichnen wir die Werthe von - - , -— , — - im Punkte £ mit F{r ) , 



dp dp' dp ^ u/ ' 



Cr(f'), H(£). Dann ist H(E) eine rationale Function von p,q, G(E) 



das Product einer solchen mit z , F(£) eine rationale von p , q , z; 



und es sind 



F(£)dp = du, G(£)dp = dv, H{Qdp = dw 



die den Anfangsgliedern von , »j , S- entsprechenden Differentiale erster 

 Gattung. 



Nach der RiEMANN'schen Theorie ist 



®* = E>.FfäF(£), 



wo E, für alle ungeraden 0, denselben Factor bedeutet. Er ist eine 



vieldeutige Function von £ und <?', aber eindeutig bestimmt, solange 



man £ und £' nahe an einander annimmt. Er ist alternirend in Bezug 



dF 

 auf £ und £'. Fallen die Punkte zusammen, so wird E = o, -^— = i. 



dp 



Es ist noch eine Eigenschaft zu erwähnen. 

 d 2 log E 

 dpdp' 



ist eine rationale symmetrische Function, die ungeändert bleibt, wenn 

 man gleichzeitig £ und £' durch die conjugirten Punkte p, q, — z 

 und p, q, — z ersetzt. Daraus folgt, dass E sich nur um einen Factor 

 von der Form %(£)%(£') ändern kann, wenn wir die Punkte £, £', 



