Schottky und H. Jung: AuEi/sche Functionen. I. 291 



indem sie sich nahe bleiben, in die conjugirten übergehen lassen. 



Da aber — — = i ist für £ = £', so muss %*(£) = i sein. Demnach 

 dp 



bleibt E 2 ungeändert, wenn man die Punkte £ und £' A r ertauscht, und 

 auch, wenn man sie auf benachbarten Wegen in die conjugirten über- 

 gehen lässt. 



Sind nun v\ , 9 zusammengehörige ungerade Functionen ihrer Sy- 

 steme, so kann das Product vj9 als lineares Aggregat von Quadraten 

 ungerader dargestellt werden : 



Daraus folgt: 



Es lässt sich dies, da die F K rationale Functionen von p, q, z sind, 

 auf die Form bringen : 



^9 = E x (A-hßz-hyz-h&zz) , 



wo a, ß, y, & rational in p, </,p', q sind. Lässt man nun £ und £' in 

 die conjugirten Punkte übergehen, so bleibt E 2 und ebenso 9 unge- 

 ändert; >] ändert sein Vorzeichen. Folglich müssen a und $ = o sein: 



*|9 = E 2 (ßz ■+■ yz') . 



9 verschwindet, abgesehen von der Stelle £' und ihrer conjugirten, in 

 t — i Punkten des Körpers (p, q) — und zwar in denjenigen, wo das 

 Differential H(£) dp = dw von der zweiten Ordnung verschwindet — . 

 Diesen entsprechen 2t — 2 Punkte von (p, q,z). In allen diesen muss 

 ßz-t-yz', also auch — ßz + yz, gleich o werden. Also verschwinden 

 die rationalen Functionen von p und q : ß und 7, in den r — 1 Null- 

 punkten von H{P) dp = dw. Da die Differentiale erster Gattung ydp 

 und H(P) dp t — 1 Nullpunkte gemeinsam haben, so ist 7 bis auf einen 

 von £ unabhängigen Factor mit H(P) identisch: 



Da ferner der Ausdruck ungeändert bleiben muß, wenn man £ und £' 

 vertauscht, so ist 



ß = H{£)G{Q. 



Dividirt man nun die Gleichung durch (p — p') 2 und lässt dann 

 £ mit £' zusammenfallen, so folgt 



Es ist daher: 



,9 = g g O g (?) + 6 ^ g O 



