Schotiky und H. Jung: ÄBEi/sche Functionen. I. 29.) 



Z ist das Product von z mit einer rationalen Function von p,q; 

 Z' dieselbe Function von p', q', z' . Zdw = dv ist ein Differential 

 erster Gattung von der Form 



R(p,q)dp 



z 



das in den r — i Punkten des Körpers {p , q) , in denen dw von der 

 zweiten Ordnung o wird, von der ersten Ordnung verschwindet. Aber 

 es giebt. wann man vom Falle a = r — i absieht, <r — (t — i) = n Dif- 

 ferentiale, die diesen Bedingungen genügen, und demnach ebensoviele 

 linear-unabhängige Functionen Z. Die Ausdrücke für die Grössen v\ sind 

 demnach, solange nicht noch andere Bestimmungen hinzutreten, durch 

 unsere Formel nicht vollständig gegeben. Es ist nur ein System von n 

 linear-unabhängigen Functionen definirt, das sich leicht aufstellen lässt, 

 und durch das die ganze Gruppe der 2 r_r Grössen *], die zu einem 3 ge- 

 hören, linear dargestellt werden kann. 



In dem speciellen Falle er = t, wo n = i ist, und zu jedem 3 ein 

 einziges »j gehört, lässt sich allerdings der Ausdruck von i\ bis auf einen 

 von £ und £' unabhängigen Factor ohne Weiteres aufstellen. Hier ist: 



Z = Const. 





V${w — a)S{w — b) 



wo w = w(^) zu setzen ist, während (a) und (b) die Werthe der Inte- 

 grale Mj(|) in den beiden kritischen Punkten bedeuten. Die Integrale 

 mj(£) sind mehrdeutige Functionen, und die Werthsysteme (a) , (b) sind 

 so zu wählen, dass der hingeschriebene Ausdruck sich von Z nur um 

 einen Factor unterscheidet, der eine rationale Function von p , q ist. 

 Gehen wir nun zum Falle <r = t — i über. Dann gehören zu 

 jedem *] zwei Functionen 3- und 3-„, die in einander durch die aus- 

 gezeichnete Halbperiode x übergeführt werden. Wir haben demnach 

 für jedes ungerade *| die beiden Gleichungen: 



A*]9- = ■£ (dv dw' -H dv' dw) , 



Av]S-„ = ■£ (dv dw' x ■+■ dv' dw x ) . 



Da sich 3- zu S-„ verhält wie Ydwdw' zu Vdiv x dw' x , so folgt durch Elimi- 

 nation von *): 



dv dv' 



Vdwdw H Vdw ' dw' K 



Es kann sich demnach dv von Vdw dw, nur um einen constanten Factor 

 unterscheiden : 



dv = r Ydwdw, . 



