296 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom IS. Februar 1909. 



könnte aber für die verschiedenen v\ verschiedene Werthe haben. In 

 Wirklichkeit ist dies nicht der Fall; es gilt der Satz: 



Die Differentiale de sind den geometrischen Mitteln der 

 zugehörigen Differentiale dw , dw x proportional ; und ebenso der 

 folgende : 



Die Werthe *)(o) sind proportional den geometrischen 

 Mitteln der zugehörigen Werthe S-(o) , S-„(o). 



Für die Fälle r = 2, 3 und 4 sind diese wichtigen Sätze leicht 

 direct zu beweisen auf Grund früherer Untersuchungen. 



Lassen wir den Fall t = 2 bei Seite — der sich übrigens ähn- 

 lich behandeln lässt wie die beiden anderen, so dass man zu dem- 

 selben Resultat gelangt — , und nehmen r = 3 oder 4 an. Zwischen 

 den Anfangsgliedern v„ der ungeraden Thetafunctionen von er = t — 1 

 Veränderlichen, die wir mit v\„ bezeichnet haben, können lineare 

 Gleichungen aufgestellt werden, deren Coefficienten durch Producte 

 der Nullwerthe der geraden v gebildet sind. Diese linearen Gleichun- 

 gen reichen in den Fällen <r = 2 und <r = 3 nicht nur aus, um 

 sämmtliche v a durch <r Grössen auszudrücken, sondern es lässt sich 

 zugleich noch Folgendes erreichen. Setzt man in dem einen Falle 

 (c = 2) : v a — l a (a a o<;-\-b„y), im anderen ((7=3): v a = l a (a a x ■+■ b a y -+- c a z), 

 indem man unter den /„ irgend welche willkürliche Factoren versteht, 

 so werden vermöge des Systems der bestehenden linearen Gleichungen 

 nicht nur die Verhältnisse der sämmtlichen Grössen yi(o), sondern auch 

 die der Factoren l„ bestimmt durch die Systeme der Coefficienten (a„ , b a ) 

 oder (a a , b a , e a ). 



Gehen wir jetzt zu den entsprechenden Functionspaaren 3-„ , S-^, 

 des RiEMANN'schen Systems über, so bestehen nach einem früher auf- 

 gestellten Satze 1 für r = 3 und r = 4 zwischen den Wurzelgrössen 

 Vdw„dw aK genau dieselben linearen Beziehungen, wie zwischen den 

 Grössen »„, nur mit dem Unterschiede, dass in den Ausdrücken der 

 Coefficienten an die Stelle der Werthe yi(o) die Grössen ]/3-(o)S- x (o) 

 treten. Nun sind, wie hier bewiesen war, die Wurzelgrössen ydio a dw ax 

 bis auf constante Factoren mit den Differentialen do a identisch. Man 

 kann deshalb 



Vdw a dw aH = L a (a a dx -+■ b a dy) 

 oder 



= L a (a a dx-+- b a dy -+- c a dz) 



setzen, wo a„, b a oder a a , b a , c a dieselben Coefficienten sind wie vorhin. 

 Demnach werden vermöge des zweiten Gleichungssystems, das zwischen 

 den Grössen Vdw a dw ax besteht, die Verhältnisse der Grössen J/S^cOS-Jo) 



1 Schottky, Acta math. Bd. 27. 



