298 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 18. Februar 1909. 



über die Beziehungen allgemeiner linearer Diffe- 

 rentialgleichungen zu den binomischen. 



Von Leo Koenigsberger. 



Um den Inhalt der nachfolgenden Untersuchungen deutlicher hervor- 

 treten zu lassen, mögen zunächst die wesentlichsten Punkte des Abel- 

 schen «Beweises von der Unmöglichkeit der algebraischen Auflösung 

 der allgemeinen Gleichungen von höherem Grade als dem vierten« 

 hervorgehoben und in einer Form ausgesprochen werden, welche die 

 Analogie mit einer ähnlichen Frage in der Theorie der linearen ho- 

 mogenen Differentialgleichungen klarer erkennen lässt. 



Der von Abel bewiesene Satz sagt nichts Anderes aus, als dass 

 für eine die Zahl 4 übersteigende Anzahl von m willkürlichen, von 

 einander unabhängigen Grössen x, , x 2 , . . x m sich keine derselben in al- 

 gebraisch-irrationaler Form durch rationale symmetrische Functionen 

 s, , s 2 , ... dieser m Grössen darstellen lässt, und der Beweis dieses 

 Satzes erfordert zunächst die Bestimmung der allgemeinen Form einer 

 jeden algebraisch-irrationalen Function der Elemente x T , x t , . . x m . 



Abel nennt eine rationale symmetrische Function s der Elemente 

 x t , x 2 , . . x m , also eine rationale Function der Coefficienten der zu diesen 

 Elementen als Lösungen gehörigen algebraischen Gleichung eine alge- 

 braische Function o ter Ordnung jener Elemente. Sind nun n, , n x , . . . n a 

 Primzahlen, und bildet man aus s, , s 2 , ... und den rc'™, n\ ea , . . rt™ Wur- 

 zeln ebensolcher Functionen wiederum eine rationale Function, so wird 

 diese eine algebraische Function erster Ordnung genannt, und zwar 

 vom |U ten Grade, wenn keine dieser w Wurzeln sich rational durch die 

 andern Irrationalitäten ausdrücken lässt, u. s. w. So gelangt Abel nach 

 Definition der allgemeinsten algebraischen Function r tcr Ordnung und 

 p ten Grades für diese zu der Form 



worin MeinePrimzahl,^5 eine Function r — 1 '"Ordnung, und<7 , q,, . . . </„_, 

 Functionen r tei Ordnung und p — i*™ Grades sind. 



