Koenigsberger : Reduction linearer Differentialgleichungen auf binomische. 299 



Wir wollen diese Eintheilung der algebraischen Functionen in 

 einer inhaltlich gleichen, formal nur wenig veränderten Gestalt aus- 

 drücken, wie Avir sie für die nachfolgende Übertragung auf die Inte- 

 grale linearer Differentialgleichungen brauchen werden. Eine alge- 

 braische Function erster Ordnung und /^ ton Grades kann als eine solche 

 definirt werden, welche rational zusammengesetzt ist aus s, , s 2 , ... und 

 aus je einer Lösung binomischer Gleichungen n It n x , . . . «/,'" Grades, in 

 welchen n s ,n 2 , . . n ix Primzahlen, die Coefficienten wiederum rationale 

 Functionen eben jener Grössen s, , s % . . sind, und von denen jede dieser 

 Gleichungen irreductibel ist mit Adjungirung der durch die gegebenen 

 binomischen Gleichungen niederen Grades eingeführten Irrationalitäten. 

 So würde die analoge Fassung der Definition algebraischer Functionen 

 2 ,er , 3'", . . . Ordnung auf die allgemeinste algebraische Function r ,er 

 Ordnung und p ten Grades führen, deren Form durch 



gegeben ist, wenn q , q 1 ,..</„_ , algebraische Functionen r ter Ordnung 

 und p — i ten Grades, und £, eine Lösung derjenigen in der Zusammen- 

 setzung enthaltenen binomischen Gleichung n Ua Grades mit algebrai- 

 schen Coefficienten r — 1 ter Ordnung ist, welche unter diesen den höchsten 

 Grad besitzt und der Definition gemäss irreductibel ist mit Adjungirung 

 der übrigen Irrationalitäten r ter Ordnung, welche den binomischen Glei- 

 chungen von niederem Grade als dem ?i tea angehören, und aller in / 

 enthaltenen Irrationalitäten niederer Ordnung als der r ten . 



Nach Aufstellung der allgemeinen Form der algebraischen Func- 

 tionen zeigt Abel, dass, wenn eine der in Grössen x, , x 2 , . . . x„, sich 

 algebraisch durch rationale symmetrische Functionen s, , s 2 , . . . dar- 

 stellen lässt, sich jeder der Theile, aus welchen dieser algebraische 

 Ausdruck zusammengesetzt ist, als rationale Function von x 1 , x 2 , . . . 

 ergiebt; es ist selbstverständlich, dass der Grad 11 der binomischen 

 Gleichung mit der Lösung £, kleiner, höchstens gleich der Zahl in 

 sein wird, da wegen der Irreductibilität derselben alle für ?, gesetzten 

 Lösungen dieser verschiedene Wurzeln der algebraischen Gleichung 

 liefern, welche mit den Elementen x 1 ,x 2 ,...x m gebildet ist. 



Vermöge der Darstellung einer algebraischen Function und der 

 eben erwähnten Eigenschaft der einzelnen Theile derselben wird nun 

 auf die Unmöglichkeit der algebraischen Ausdrückbarkeit einer der 

 Grössen x I , x 2 , . . . x m durch rationale symmetrische Functionen der- 

 selben geschlossen, wenn deren Anzahl grösser als 4 ist, und zwar 

 mit Hülfe der beiden Sätze: wenn eine irreductible binomische Glei- 

 chung, deren rechte Seite in x, , x 2 , . . . x m rational und symmetrisch 

 ist, eine in diesen Grössen rationale, nicht symmetrische Lösung be- 



