Koenigsberger : Reduction linearer Differentialgleichungen auf binomische. 301 



schaft besitzt, bis auf einen constanten Factor unverändert zu bleiben. 

 wenn statt y, , y a , . . . y m die Elemente z,, z 2 , . . . z m eines anderen Fun- 

 damentalsystems gesetzt werden, so sind zunächst die Coefficienten 

 der linearen Differentialgleichung symmetrische Functionen der Elemente 

 y, , y, , . . . y„, , es ist aber auch allgemein 1 jede rationale symmetrische 

 Function der Fundamentalintegrale y l ,y 2 , . . y„, durch eine rationale 

 Function der Coefficienten / und deren Ableitungen darstellbar multi- 

 plicirt mit einer ganzzahligen Potenz von 



oder, was dasselbe ist, mit einer ganzzahligen Potenz der Determi- 

 nante A. 



Seien y, , y a , . . . y m beliebige , von einander unabhängige Func- 

 tionen von x, für welche also A von Null verschieden ist, und mögen 

 wieder rationale symmetrische Functionen dieser Grössen und denn 

 Ableitungen mit s, , s 2 , . . . bezeichnet werden, so wollen wir der Abel- 

 schen Benennung analog von solchen Functionen sagen, ilass sie den 

 Charakter binomischer Integra lfunctionen o' cr Ordnung besitzen. 



Sind nun \x lineare binomische Differentialgleichungen von der 

 Ordnung w, , n 2 , . . . 11^ gegeben 



(5) •l ( "' ) = M , SW = «,&,... ^"") = s,€ , 



deren Coefficienten s, , s 2 , . . . s„ Functionen der eben angegebenen Art 

 sind, und von denen je ein Integral mit jj x , S-, , . . . £, bezeichnet werden 

 mag; werde ferner angenommen, dass jede dieser binomischen Diffe- 

 rentialgleichungen irreductibel ist mit Adjimgirung ebensolcher sym- 

 metrischer Functionen und der bez. Lösungen v\, , S-, , ... £, der an- 

 dern binomischen Gleichungen und deren Ableitungen, und zwar in 

 dem Sinne irreductibel, dass sie nicht mit einer algebraischen Diffe- 

 rentialgleichung niederer Ordnung mit gleichartig zusammengesetzten 

 Coefficienten das bez. Integral *|, , S - , , . . . £, gemein hat 2 , so soll jedem 



1 Vergl. meine »Theorie der Differentialgleichungen« S. 141. 



2 Die so definirte Irreductibilität der Differentialgleichungen ist aber für die Ge- 

 sammtheit derselben zulässig. Seien nämlich die beiden linearen Differentialgleichungen 

 gegeben 



deren Coefficienten rational und symmetrisch aus y,, y 2 , . .. und deren Ableitungen zu- 

 sammengesetzt sind, und sei die erstere mit Adjimgirung eines Integrales .S-, der zweiten 

 und dessen Ableitungen in dem Sinne irreductibel, dass ein Integral v\ x derselben keiner 

 algebraischen Differentialgleichung von niederer Ordnung als der n, ,cn angehöre, deren 

 Coefficienten symmetrisch aus y l ,y 2 , ... y[ , y 2 , ... und rational aus -S", , .r/ . . . . zusammen- 

 gesetzt sind, so wird auch die zweite Differentialgleichung mit Adjungirung von r„ und 

 dessen Ableitungen in dem Sinne irreductibel sein, dass sie mit keiner gleichartigen 



