302 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 18. Februar 1909. 



aus diesen \j. Integralen und deren Ableitungen zusammengesetzten 

 Ausdruck, welcher ganz, homogen und linear ist in jeder dieser Grössen, 

 also |U-fach linear in allen diesen Integralen und deren Ableitungen 

 mit Coefficienten, welche wiederum rationale symmetrische Functionen 

 von y x , y 2 , . . . y m sind, der Charakter einer binomischen Integralfunction 

 i'"' Ordnung und /■/"' Grades beigelegt werden. 



Fährt man nun in genau derselben Weise fort, und bildet — 

 nach Aufstellung weiterer linearer homogener binomischer Differential- 

 gleichungen mit Coefficienten, welche rational zusammengesetzt sind 

 aus den Lösungen der früheren binomischen Differentialgleichungen 

 und deren Ableitungen sowie rationaler symmetrischer Functionen von 

 y, , y 2 , . . . , und welche wiederum in dem oben angegebenen Sinne irrc- 

 ductibel sind mit Adjungirung der bezüglichen Integrale aller früher be- 

 trachteten binomischen Differentialgleichungen — ganze mehrfach lineare 

 Functionen dieser neuen Transcendenten und deren Ableitungen mit 

 Coefficienten, welche den Charakter binomischer Integralfunctionen erster 

 Ordnung haben, so gelangt man zu binomischen Integralfunctionen 

 zweiter Ordnung und von dem durch die Anzahl der zuletzt aufgestellten 

 binomischen Differentialgleichungen bestimmten Grade, u.s.w., bis man 

 zur Definition binomischer Integralfunctionen r ter Ordnung und o lc " Grades 

 kommt, welche somit in der Form darstellbar sind 



(6) F = q c >), -+- q, vfj ■+■ q x v\" ■+■ . . . -t- q n _ , vf? ~ l) . 

 worin >), die Lösung der binomischen Differentialgleichung 



(7) n {n) =fy\ 



ist, deren Coefficient / rational zusammengesetzt ist aus je einem In- 

 tegral und dessen Ableitungen von allen denjenigen binomischen 

 Differentialgleichungen, welche die in F enthaltenen binomischen In- 

 tegralfunctionen r — i tcr Ordnung constituiren, und welche irreductibel 

 ist mit Adjungirung aller dieser Functionen und deren Ableitungen. 

 Die Functionen q c , q, , . . . q n _ 1 haben den Charakter binomischer In- 

 tegralfunctionen r l " Ordnung, aber von niedrigerem Grade als dem 

 p ,c ", sind also, wenn vom o ,en Grade, von der r — i u " Ordnung. 



Für den einfachsten, später zu behandelnden Fall, dass F eine 

 binomische Integralfunction i <cr Ordnung und jj.*" 1 Grades ist. oder eine 

 w-fach lineare Function je eines Integrales der binomischen Dilferential- 



algebraischen Differentialgleichung von niederer Ordnung als der n^" das Integral c-, 

 gemein hat. Denn wäre letztere reductibel, so würde die vermöge der beiden ge- 

 gebenen linearen Differentialgleichungen mögliche eindeutige Erniedrigung der Ordnung 

 der algebraischen Differentialgleichung in Bezug auf r n auf die n l — i tc , für .&-, auf die 

 « 2 — i ,e auch die Reductibilität der ersteren nacli sich ziehen. 



