Koenigsberger : Reduct ion linearer Differentialgleichungen auf binomische. 803 



gleichungen (5) und dessen Ableitungen, somit also die Form (6) hat, 

 worin die Coefficienten j,,},...^., binomische Integralfunctionen 

 1'" 'Ordnung und u. — 1 1 '" Grades sind, braucht man zur Herleitung des 

 dem Ann, 'sehen Satze analogen Theorems die Irreductibilität der binomi- 

 schen Differentialgleichungen nur in dem Sinne vorauszusetzen, dass die- 

 selben das bezügliche Integral mit keiner linearen homogenen Differen- 

 tialgleichung niederer Ordnung gemein haben, deren Coefficienten solche 

 binomische Integralfunctionen linear adjungirt werden, welche den 

 Integralen der übrigen \x — 1 binomischen Differentialgleichungen an- 

 gehören. Soll also F die Form (6) haben, worin q a , q t , . . . q a _ , ra- 

 tionale symmetrische Functionen von y, , y 2 , . . . und deren Ableitungen 

 sind, und ist jj, ein Integral der binomischen Differentialgleichung (7), 

 in welcher / eine ebensolche Function dieser Elemente ist, so braucht 

 nur die Irreductibilität von (7) in dem Sinne vorausgesetzt zu werden, 

 dass sie mit keiner linearen homogenen Differentialgleichung niederer 

 ( »rdnung, deren Coefficienten wiederum symmetrische Functionen jener 

 Grössen sind, das bezügliche Integral v\ I gemein hat. 



Mit Rücksicht auf diesen einfachsten Fall, der uns später weiter 

 beschäftigen wird, schicken wir — bevor wir zur Beantwortung der 

 Frage übergehen, ob lineare homogene Differentialgleichungen höherer 

 Ordnung mit allgemeinen von einander unabhängigen Functionalcoeffi- 

 cienten ein Integral zulassen, welches den Charakter einer binomischen 

 Integralfunction besitzt, oder ob sich von m willkürlichen Functionen 

 y l , y 2 , . . . y m eine derselben als eine solche Function irgend einer < »rd- 

 nung und irgend eines Grades ausdrücken lässt — einige Bemerkungen 

 zur Beurtheilung der Irreductibilität einer binomischen Differential- 

 gleichung in dem oben angegebenen Sinne voraus. 



Wir wollen die in Frage kommende Methode an der binomischen 

 Differentialgleichung vierter Ordnung 



(8) •„"" = p, 



erläutern, in welcher p eine rationale Function von willkürlich ge- 

 gebenen Functionen y, , y, , . . . und deren Ableitungen bezeichnet, und 

 für welche die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen für die 

 Irreductibilität in dem Sinne aufgestellt werden sollen, dass dieselbe 

 mit Adjungirung von mit p gleichartigen Functionen mit keiner linearen 

 homogenen Differentialgleichung von niederer Ordnung als der vierten 

 mit gleichartigen Coefficienten ein Integral gemein hat. 



Wenn die Differentialgleichung (8) in dem angegebenen Sinne re- 

 ductibel ist, so kann sie 



I. mit einer linearen homogenen Differentialgleichung 3*" Ordnung 



(9) l'" = ■'". 1" ■+■ ?Vl' -+- 'VI > 



