304 Sitzung der physikalisch-mathematischen Classe vom 18. Februar 1909. 



in welcher i\ , r 2 , r 3 wieder rationale Functionen von y t , y I , . . . und 

 deren Ableitungen sind, ein Integral vj, gemein haben, welches nicht 

 schon einer gleichartigen linearen homogenen Differentialgleichung von 

 niederer Ordnung als der 3 tc " angehört; dann würde aus (8) und (9) 

 folgen, dass 



1i'" = r .( r . V/ -+- i\y\, -+- '"3*1,) -+- (?',' -+- i\)yi[' + (r' 2 -+- 7- 3 )yi[ -+- r' i vi l = pv\, 



ist, und somit der Voraussetzung zufolge 



r\ -+- r[ -+- r 2 = o , r, r a -+- 1\ -+- r 3 = o , r, r 3 + r 3 = p , 



woraus sich 



r 3 = — r° — r[ , r 3 = ?•* + 3?*, r[ -+- r" 

 und 



r\ ■+- 6r] r[ -+- 4?-, r" ■+- 3/- ," -+- r,"' = p 



ergiebt. Es müsste also, wenn Reductibilität im angegebenen Sinne 

 stattfinden soll, die Differentialgleichung 



(10) z'" -t- ^zz" -i- 3z' 2 -h 6z 2 z' -h z 4 = p 



ein in y t , y 2 , . . . und deren Ableitungen rationales Integral besitzen : 

 umgekehrt ist leicht zu sehen, dass, wenn dies der Fall ist, und das 

 in jenen Grössen rationale Integral mit r, bezeichnet wird, sich nach 

 Bestimmung der Grössen r 2 und r 3 aus den Gleichungen 



r\ -+- r[ ■+■ r x = O und i\ r 2 -+- r 2 ■+■ r 3 = o 

 nach ( 1 o) 



r, r 3 -t- r 3 = rj -4- 6r* r,' + 4r, r" -f- 3 r" -+- r,'" = p , 



und somit i\ , r 2 , r 3 als rationale Functionen von y, , y 2 , . . . und deren 

 Ableitungen von der Art ergeben, dass jedes Integral der Gleichung 

 (9) auch die binomische Differentialgleichung (8) befriedigt. 



Die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, dass die 

 Differentialgleichung (8) kein Integral mit einer gleichartigen homo- 

 genen linearen Differentialgleichung 3'"' Ordnung gemein hat, welches 

 nicht schon einer ebensolchen linearen Differentialgleichung von niede- 

 rer Ordnung als der 3''" angehört, ist somit die, dass die Differential- 

 gleichung (10) kein in y,,y 2 ,... und deren Ableitungen rationales 

 Integral besitzt. 



Hat 



II. die Differentialgleichung (8) mit einer gleichartigen homogenen 

 linearen Differentialgleichung 2'" Ordnung 



(11) jj" = r t v\' -hr^v] 



