Koenigsberger : Reduction linearer Differentialgleichungen auf binomische. 305 



ein Integral gemein, welches nicht schon einer ebensolchen Differential- 

 gleichung i ter Ordnung genügt, so folgt ähnlich wie oben 



r\ -+- $t\ r[ -t- 2r, r 2 -+- r" -+- ir' % = o 

 r\ i\ -+- 2 r[ r 2 -+- r\ -+- r, r[ -+- r" = p ; 



es muss daher das simultane Differentialgleichungsystem 



(12) Z'-+-Zt = —jr(P-+-3t!' + t") 



(13) Zt'-\- 2Zt' + Z*-+-z't-hz" = p 



ein in y, , y 2 , . . . und deren Ableitungen rationales simultanes Integral- 

 system besitzen, und umgekehrt; es ist daher die nothwendige und hin- 

 reichende Bedingung dafür, dass die binomische Differentialgleichung 

 (8) mit keiner gleichartigen homogenen linearen Differentialgleichung 

 2"" Ordnung ein gemeinsames Integral besitzt, welches nicht schon 

 einer gleichartigen linearen Differentialgleichung erster Ordnung an- 

 gehört, die, dass das Düi'erenfialideichungsystem (12), (13) kein simul- 

 tanes Integralsystem besitzt, welches in y x , y 2 , . . . und deren Ablei- 

 tungen rational ist. 



Nun folgt aber aus (12) durch Integration, dass r 2 und r, in der 

 Beziehung stehen müssen 



(14) r 2 = ce~ f r ' ds — \ (r[ ■+■ r)) , 



worin c eine willkürliche Constante bedeutet, und es wird somit r„ 

 wie durch Substitution des Wertlies r 2 in (13) hervorgeht, ein Integral 

 der Differentialgleichung 



(15) 2 1\ -+- 6?\ r" -4- 7 1\ 2 -+- 8 r \ r[ -+- r\ — c" tr x / r - ** = — 40 



sein müssen. Lassen sich nun für irgend einen Werth der Constanten c 

 die Functionen r, und r 2 den Gleichungen (14) und (15) gemäss als 

 rationale Functionen von y l , y 2 , ■•• und deren Ableitungen bestimmen, 

 so wird die binomische Differentialgleichung in dem angegebenen Sinne 

 reductibel sein, sonst irreductibel. Wir wollen zwei Fälle unterscheiden : 

 Wählt man c = o, so folgt aus ( 1 4) r, als rationale Function der be- 

 zeichneten Grössen, wenn r, eine solche ist, und es bleibt somit nur 

 die Bedingung zu erfüllen, dass die Differentialgleichung 



(16) 2 r'" -+- 6i\ r" -+- 7 r'* -+- Sr] r[ -+- r* = — 4p 



ein ebenso gestaltetes Integral besitzt. 



Ist jedoch c von Null verschieden, so wird noch die Bedingung 

 hinzutreten, dass 



dlogR _ R' 

 ''' ~ ~ dx~ ~ ~ Ä 



